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喜帕恰斯 (Hipparchus)說明了兩數(shù)如何描述球面上之點(diǎn)。
他接著解釋了球極埋型段投影法：我們要如何在一張紙上描繪出地球呢？
數(shù)學(xué)家黎曼將闡述數(shù)學(xué)中證明的重要性。他將證明一個(gè)關(guān)于球極投影的定理彎譽(yù)：圓在球極投影后仍租巧為正圓。
這個(gè)影片講的是維度的故事，首先他講了二維和以及所有的我只想說一件我很感興趣的事。但是首先得說那以前的事情首先是以地球?yàn)槔S與三維。首先我們要知道二維是一個(gè)平面圖形。如果他是一個(gè)平面的不行，那就得把三維體的地球給壓縮，壓縮再壓縮，直到出來二位也就是我們可以把它解剖一下，然后再把它展開，也就是一個(gè)橢圓形的在圖中，我們可以看到南極和北極正在兩個(gè)方向的上面和下面。而這個(gè)我們就可以給他劃分緯度和緯線。首先做的是要先把南極和北極，你是一個(gè)完美直線做表現(xiàn)出來，在一個(gè)線段延伸延伸點(diǎn)是南極是北極，可以構(gòu)成一個(gè)線段。將這個(gè)平均分成若干份，就成為了經(jīng)緯這一說法。其實(shí)這個(gè)只不過就是一個(gè)一個(gè)的小格格而已。而下面就舔著你的高度，比如說飛機(jī)它的范圍大約在10千米左右。下面就延展我們有趣的問題了，首先是唯獨(dú)問題，我要講的問題是，二維生物或者一維生物探查更高維度的時(shí)候就發(fā)生了什么。首先是一維是一條線。如果棗液源在這條線上面的生物報(bào)道而已的話，他也只不過僅僅能看到一條線上能看的，就像你在一個(gè)地方，你只能看到前面的東西埋豎，而不能看到最后的東西以上凳態(tài)的東西一模一樣。二位的話你就更復(fù)雜了，你往上看，看不到任何東西，南南市為僅限于紙的之你就算他把這個(gè)弟弟放在二維平面之上，那他們也是看不見任何東西的。就像一個(gè)盲人一樣。
那我用我們對客觀世界的普遍認(rèn)識來解釋一下這個(gè)維度的問題，可能我也說得不對。比如說古時(shí)候人們對生活的世界有了一定的認(rèn)識，但卻對死后的世界無法認(rèn)識，于是以生前的世界為基礎(chǔ)，以一定邏輯構(gòu)造（想象）了一段返個(gè)死后的世界：天配燃纖堂、地獄什么的。但人們誰也培仿沒有去過那里，這些“世界”對于我們就像四維、n維的世界對于我們一樣，我們可以通過我們現(xiàn)在對三維二維的認(rèn)識去推理出四維n維的數(shù)學(xué)世界，但就像天堂和地獄一樣，不一定會有絕對的現(xiàn)實(shí)意義。
有用
根據(jù)之前我們所說，我們得知三維空間中包含了二維的 S2 球面，用同樣的方法，我們可以研究出四維空間中包含的三維球面，稱為 S3，但你是看不到 S3 球面的，因?yàn)槟愕目臻g只有三維
為此，我們只能效仿之前平面蜥蜴?zhèn)儗θS面體的作為：在這里，我們膨脹一個(gè)多面體，直到它的面嵌在一個(gè)四維空間的三維球面 S3 上，再用四維空間里面的球極投影到我們的三維空間里
這需要你的一些想象，不過你可以類比之前三維到二維的球極投影，在類比時(shí)，請把下面這張圖假設(shè)為一個(gè)展示出了第四維度，但是卻壓縮了一個(gè)可見維度的圖，因?yàn)閴嚎s了一仿槐汪個(gè)可見維度，我們所在的三維空間，相當(dāng)于下面的那個(gè)面，而三維球面 S3 看起來和二維球面 S2 （我們通常說的球面）一樣
接下來我們看到一個(gè)四維單形，它有 5 個(gè)頂點(diǎn)和 10 條棱，而這時(shí)，棱是一些圓弧，這個(gè)情況與三維物體投影到平面上是完全類似的
接下來我們加入二維面，來看的更加清楚些，下面就是四維單形和它的 10 個(gè)三角面
因?yàn)榍驑O投影的原因，我明凱們看到二維面并不是純平的，正如之前的棱是一些圓弧一樣，當(dāng)四維單形在四維空間中轉(zhuǎn)動，再被球極投影出來，這些面和棱就像當(dāng)初地球滾動時(shí)，陸地投影般隨之舞動，有時(shí)，一個(gè)面會經(jīng)過投影的極點(diǎn)，而隨后，這些點(diǎn)也可能會被投影到無窮遠(yuǎn)處
現(xiàn)在，我們看下超立方體的球極投影，三維空間被分割成 8 個(gè)立方體形的區(qū)域，而它們則是超立方體的三維表面，嘗備仔試著想象一下，超立方體的表面一共有 8 個(gè)立方體，它們彼此相連，而超立方體的二維面，則是 24 個(gè)正方形（或多或少地隆起和扭曲）
然后是 24 號，它包含有 24 個(gè)頂點(diǎn)，96 條棱，96 個(gè)三角形和 24 個(gè)八面體，有 8 條棱從它的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)
這里是 120 號，有四條棱從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，它的二維面是五邊形，一共有 720 個(gè)，這 720 個(gè)五邊形相互銜接為 120 個(gè) 12 面體，而這些 12 面體都互相完美的契合在一起
最后的是 600 號，它包含有 600 個(gè)三維四面體，包括有 1200 個(gè)三角面，同時(shí)，也有 720 條棱和 120 個(gè)頂點(diǎn)，據(jù)說，在這個(gè)物體的四維空間里有 14400 種對稱性
到這里，我們完成了第一個(gè)四維之旅，這里充滿著各種奇觀，而在此之上更是存在五維，六維，n 維，甚至無限維的空間
維度數(shù)學(xué)漫步主要薯宏知講的是從一維的空間到四維的空間所看到的東西。一維主要是一條線，物體也只能在這一條線上活動。
一條線基本上沒有什么用處，他只能組成其他的東西，比如一條線能組成一個(gè)面，也就是二維二維就是一個(gè)面，也只能從這個(gè)面上觀察東西。這個(gè)面是沒有厚度的。
三維是一個(gè)立體。也就是我們現(xiàn)在的世界我們生存以及看你的東西都是三維的。一維和二維都是抽象畫的三維才是真正的。假如從一個(gè)面上看一個(gè)三維的東西，看到的只是他的橫切面，或者他放在那個(gè)面上的那個(gè)東西而二維是無法準(zhǔn)確的判斷三維物體的除非你的思維想象空間非常好，或者那個(gè)三絕神維的立體有一個(gè)投影被投射到了那個(gè)面上就像看電影一樣。
四維是一個(gè)很神奇的維度。他是由不同的三維物體組成的，而他的棱長與角和面都是很多的。思維也是我們無法用眼睛所理解和看到的。因?yàn)樗季S不屬于三維空間，所以三維空間的東西是了數(shù)消解不了四維的東西的。
