函數的歷史？函數概念的發展歷史 1.早期函數概念——幾何觀念下的函數 十七世紀伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《兩門新科學》一書中,幾乎全部包含函數或稱為變量關系的這一概念,用文字和比例的語言表達函數的關系。那么，函數的歷史？一起來了解一下吧。
1、 伽利略（1564-1642）的落體運動定律、牛頓（1642-1727）的萬有引力定律、愛因斯坦（1879-1955）的質能轉化公式等等都是用函數概念來表達的。 2、 函數概念最早出現在J葛列格里（1638-1675）的文章《論元和雙曲線的求積》中。在費馬（1601-1665）、笛卡爾（1596-1650）的工作中也涉及到這些概念。牛頓開始微積分工作后，一直用“流量”來表示變量間的關系。萊布尼茲（1646-1716）在1673年的一篇手稿里面用了“函數”一詞。3、 用符號Φx表示一般函數的是瑞士數學家約翰?伯努利（一世）（1667-1748）。1734年歐拉（1707-1783）采納這一定義用f(x)作為函數的記號。該用法一直保持到今天。1769年，達朗貝爾（1717-1783）第一次導出了函數方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)。柯西（1789-1857）在1821年導入了更多的函數方程：f(x+y)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)。一系列重要的函數方程由阿貝爾（1802-1827）年解決。 4、 傅里葉（1768-1830）引入三角級數，例如：y=sinx/1+sin(3x)/3+sin(5x)/5+┅。
1.早期歷史
函數概念的早期演變過程為：開始，x的函數僅只x的冪；接著，其涵義被拓廣為含x的代數式；之后，又從代數式拓廣到含x的任意解析式；最后，從任意解析式拓廣為依賴于x或由x所確定的任意變量。同時，一元函數又被拓廣到了多元函數。
2.從約翰·伯努利到歐拉
1694年，約翰·伯努利提到函數是“由不定的量和常量所構成的某個量”。1718年，他首次明確提出函數的新定義：“一個變量的函數是由該變量和一些常量以任何方式組成的量。”
歐拉在約翰·伯努利的定義基礎之上，在《無窮分析引論》中首次用解析式來定義函數：“一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何方式組成的解析式。”
1755年，歐拉在《微分基礎》中更新了函數的定義：“如果某些量依賴于另一些量，當后面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數。”
歐拉的“解析式”定義和“依賴關系”定義對后世產生了深遠的影響，19世紀中葉以前，它們一直是函數定義的藍本。
3.百科全書中的函數定義
1757～1838年的歐美百科全書或數學詞典中，函數的解析式定義占有絕對統治地位。雖然歐拉已經定義了“代數函數”和“超越函數”，但各百科全書的有關作者并沒有相應的區分“代數式”和“超越式”，將“代數式”與一般“解析式”混為一談。
（一）
?馬克思曾經認為,函數概念來源于代數學中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究,所以函數概念至少在那時已經萌芽．
?自哥白尼的天文學革命以后,運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題,人們在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自轉和公轉,那么下降的物體為什么不發生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓,原理是什么?還有,研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度,以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題,既是科學家的力圖解決的問題,也是軍事家要求解決的問題,函數概念就是從運動的研究中引申出的一個數學概念,這是函數概念的力學來源．
（二）
?早在函數概念尚未明確提出以前,數學家已經接觸并研究了不少具體的函數,比如對數函數、三角函數、雙曲函數等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中,已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系,但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念,因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候,數學家還沒有明確函數的一般意義．
?1673年,萊布尼茲首次使用函數一詞表示“冪”,后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量．由此可以看出,函數一詞最初的數學含義是相當廣泛而較為模糊的,幾乎與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用另一名詞“流量”來表示變量間的關系,直到1689年,瑞士數學家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數概念的基礎上,對函數概念進行了明確定義,貝努里把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”,表示為yx.
?當時,由于連接變數與常數的運算主要是算術運算、三角運算、指數運算和對數運算,所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數x和常數c而成的式子,取名為解析函數,還將它分成了“代數函數”與“超越函數”．
?18世紀中葉,由于研究弦振動問題,達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數”的說法．在解釋“任意的函數”概念的時候,達朗貝爾說是指“任意的解析式”,而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”．現在看來這都是函數的表達方式,是函數概念的外延．
（三）
?函數概念缺乏科學的定義,引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如,偏微分方程在工程技術中有廣泛應用,但由于沒有函數的科學定義,就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年,高斯開始把注意力轉向物理學．他在和W·威伯爾合作發明電報的過程中,做了許多關于磁的實驗工作,提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論,使得函數作為數學的一個獨立分支而出現了,實際的需要促使人們對函數的定義進一步研究．
?后來,人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量,當后一量變化時前一量也隨著變化,那么第一個量稱為第二個量的函數．“這個定義雖然還沒有道出函數的本質,但卻把變化、運動注入到函數定義中去,是可喜的進步．”
?在函數概念發展史上,法國數學家富里埃的工作影響最大,富里埃深刻地揭示了函數的本質,主張函數不必局限于解析表達式．1822年,他在名著《熱的解析理論》中說,“通常,函數表示相接的一組值或縱坐標,它們中的每一個都是任意的……,我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中,他用一個三角級數和的形式表達了一個由不連續的“線”所給出的函數．更確切地說就是,任意一個以2π為周期函數,在〔－π,π〕區間內,可以由
?表示出,其中
?富里埃的研究,從根本上動搖了舊的關于函數概念的傳統思想,在當時的數學界引起了很大的震動．原來,在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝,級數把解析式和曲線溝通了,那種視函數為解析式的觀點終于成為揭示函數關系的巨大障礙．
?通過一場爭論,產生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數定義．
?1834年,俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數,它對于每個x都有確定的值,并且隨著x一起變化．函數值可以由解析式給出,也可以由一個條件給出,這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法．函數的這種依賴關系可以存在,但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數之間的對應關系,是對函數概念的一個重大發展,因為“對應”是函數概念的一種本質屬性與核心部分．
?1837年,德國數學家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要,所以他的定義是：“如果對于x的每一值,y總有完全確定的值與之對應,則y是x的函數．”
?根據這個定義,即使像如下表述的,它仍然被說成是函數（狄里克萊函數）：
f（x）= 1?（x為有理數）,
0?（x為無理數）．
?在這個函數中,如果x由0逐漸增大地取值,則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區間里,f（x）無限止地忽0忽1．因此,它難用一個或幾個式子來加以表示,甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示,在狄里克萊的定義下,這個f（x）仍是一個函數．
?狄里克萊的函數定義,出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述,以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受．至此,我們已可以說,函數概念、函數的本質定義已經形成,這就是人們常說的經典函數定義．
（四）
?生產實踐和科學實驗的進一步發展,又引起函數概念新的尖銳矛盾,本世紀20年代,人類開始研究微觀物理現象．1930年量子力學問世了,在量子力學中需要用到一種新的函數——δ-函數,
即?ρ（x）＝ 0,x≠0,
∞,x=0．
且
?δ-函數的出現,引起了人們的激烈爭論．按照函數原來的定義,只允許數與數之間建立對應關系,而沒有把“∞”作為數．另外,對于自變量只有一個點不為零的函數,其積分值卻不等于零,這也是不可想象的．然而,δ-函數確實是實際模型的抽象．例如,當汽車、火車通過橋梁時,自然對橋梁產生壓力．從理論上講,車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個,設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位,這時在接觸點x=0處的壓強是
?P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．
?其余點x≠0處,因無壓力,故無壓強,即?P（x）=0.另外,我們知道壓強函數的積分等于壓力,即
?函數概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發展,產生了新的現代函數定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在集合M上定義一個函數,記為y=f（x）.元素x稱為自變元,元素y稱為因變元．
?函數的現代定義與經典定義從形式上看雖然只相差幾個字,但卻是概念上的重大發展,是數學發展道路上的重大轉折,近代的泛函分析可以作為這種轉折的標志,它研究的是一般集合上的函數關系．
?函數概念的定義經過二百多年來的錘煉、變革,形成了函數的現代定義,應該說已經相當完善了．不過數學的發展是無止境的,函數現代定義的形式并不意味著函數概念發展的歷史終結,近二十年來,數學家們又把函數歸結為一種更廣泛的概念—“關系”．
?設集合X、Y,我們定義X與Y的積集X×Y為
?X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
?積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關系,若（x,y）∈R,則稱x與y有關系R,記為xRy.若（x,y）R,則稱x與y無關系．
?現設f是X與Y的關系,即fX×Y,如果（x,y）,（x,z）∈f,必有y=z,那么稱f為X到Y的函數．在此定義中,已在形式上回避了“對應”的術語,全部使用集合論的語言了．
?從以上函數概念發展的全過程中,我們體會到,聯系實際、聯系大量數學素材,研究、發掘、拓廣數學概念的內涵是何等重要．
函數是數學的重要的基礎概念之一。進一步學習的
，包括
、微分學、積分學、
乃至
等高等學校開設的
課程，無一不是以函數作為基本概念和研究對象的。其他學科如物理學等學科也是以函數的基礎知識作為研究問題和解決問題的工具。函數的教學內容蘊涵著極其豐富的辯證思想，是對學生進行
觀點教育的好素材。函數的思想方法也廣泛地診透到中學數學的全過程和其他學科中。
函數是中學數學的主體內容。它與中學數學很多內容都密切相關，初中代數中的“函數及其圖象”就屬于函數的內容，
中的
、
、
是函數內容的主體，通過這些函數的研究，能夠認識函數的性質、圖象及其初步的應用。后續內容的極限、
初步知識等都是函數的內容。數列可以看作整標函數，等差數列的通項反映的點對(n，an)都分布在直線y＝kx+b的圖象上，等差數列的前n項和公式也可以看作關于的
關系式，
的內容也都屬于
類型的整標函數。中學的其他數學內容也都與函數內容有關。
函數在中學教材中是分三個階段安排的。第一階段是在初中代數課本內初步討論了函數的概念、函數的表示方法以及函數圖象的繪制等，并具體地討論
、
、
、
等最簡單的函數，通過計算函數值、研究
、
、
、
的慨念和性質，理解函數的概念，并用描點法可以繪制相應函數圖象。
現行數學教科書上使用的“函數”一詞是轉譯詞．是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1895年）一書時，把“function”譯成函數的．中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數．”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量．這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量 ，則該式子叫做 的函數．”所以“函數”是指公式里含有變量的意思．對函數一次的介紹既要用到古漢語知識，還涉及到英語、歷史的相關知識。
以上就是函數的歷史的全部內容，函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革,形成了函數的現代定義形式,但這并不意味著函數概念發展的歷史終結,20世紀40年代,物理學研究的需要發現了一種叫做Dirac-δ函數,它只在一點處不為零,而它在全直線上的積分卻等于1,這在原來的函數和積分的定義下是不可思議的,但由于廣義函數概念的引入,把函數、。
