目錄你理解的數(shù)學(xué)是什么 數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么? 物理與數(shù)學(xué)的區(qū)別 誰(shuí)他媽發(fā)明了數(shù)學(xué) 為什么數(shù)學(xué)好的女孩子很少
眾所周笑猜凱知，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量兆亂、結(jié)構(gòu)、變化、空間碰喚以及信息等概念的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)在人類歷史發(fā)展和社會(huì)生活中，發(fā)揮著不可替代的作用，更是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本。
數(shù)學(xué)（mathematics或maths，來(lái)自希臘語(yǔ)，“máthēma”；經(jīng)常被縮寫為戚陪納“math”），是亂毀研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，從某種角度看屬于形式科學(xué)的一種。數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的確切范圍和定義有高沒(méi)一系列的看法。
而在人類歷史發(fā)展和社會(huì)生活中，數(shù)學(xué)也發(fā)揮著不可替代的作用，也是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本。
中文名
數(shù)學(xué)
外文名
Mathematics（簡(jiǎn)稱Maths或Math）
學(xué)科分類
一級(jí)學(xué)科
相關(guān)著作
數(shù)學(xué)九章 幾何原本
代表人物
阿基米德牛頓 歐拉高斯等
數(shù)學(xué)，其英文是mathematics，這是一個(gè)復(fù)數(shù)名詞，“數(shù)學(xué)曾經(jīng)是四門學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂(lè)，處于一種比語(yǔ)法、修辭和辯證法這三門學(xué)科更高的地位。”
自古以來(lái)，多數(shù)人把數(shù)學(xué)看成是一種知識(shí)體系，是經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理而形成的化的理論知識(shí)總和，它既反映了人們對(duì)“現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系（恩格斯）”的認(rèn)識(shí)（恩格斯），又反映了人們對(duì)“可能的中蠢滾量的關(guān)系和形式”的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)既可以來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象，也可以來(lái)自人類思維的勞動(dòng)創(chuàng)造。
從人類社會(huì)的發(fā)展史看，人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)在不斷變化和深化。“數(shù)學(xué)的根源在于普通的常識(shí)，最顯著的例子是非負(fù)整數(shù)。"歐幾里德的算術(shù)來(lái)源于普通常識(shí)中的非負(fù)整數(shù)，而且直到19世紀(jì)中葉，對(duì)于數(shù)的科學(xué)探索還停留在普通的常識(shí)，”另一個(gè)例子是幾何中的相似性，“在個(gè)體發(fā)展中幾何學(xué)甚至先于算術(shù)”，其“最早的征兆之一是相似性的知識(shí)，”相似性知識(shí)被發(fā)現(xiàn)得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀(jì)以前，人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué)、經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，因?yàn)槟菚r(shí)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系非常密切，隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，從19世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)的觀點(diǎn)逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，這種觀點(diǎn)在布爾巴基學(xué)派的研究中得到發(fā)展，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，一切數(shù)學(xué)都建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)之上。與這種觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從古希臘的柏拉圖開(kāi)始，許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問(wèn)，數(shù)學(xué)家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數(shù)學(xué)與善》中說(shuō)，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個(gè)體作抽象的過(guò)程中對(duì)模式進(jìn)行研究，”數(shù)學(xué)對(duì)于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強(qiáng)有力的技術(shù)。”1931年，歌德?tīng)枺↘，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的觀點(diǎn)，著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就認(rèn)為，數(shù)學(xué)兼有演繹科學(xué)和經(jīng)驗(yàn)科學(xué)兩種特性。
對(duì)于上述關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的看法，我們應(yīng)當(dāng)賣余以歷史的眼光來(lái)分析，實(shí)際上，對(duì)數(shù)本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)是隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。由于數(shù)學(xué)源于分配物品、計(jì)算時(shí)間、丈量土地和容檔猛積等實(shí)踐，因而這時(shí)的數(shù)學(xué)對(duì)象（作為抽象思維的產(chǎn)物）與客觀實(shí)在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，這樣，人們自然地認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種經(jīng)驗(yàn)科學(xué)；隨著數(shù)學(xué)研究的深入，非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生，特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對(duì)象上，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離越來(lái)越遠(yuǎn)，而且數(shù)學(xué)證明（作為一種演繹推理）在數(shù)學(xué)研究中占據(jù)了重要地位，因此，出現(xiàn)了認(rèn)為數(shù)學(xué)是人類思維的自由創(chuàng)造物，是研究量的關(guān)系的科學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論，是關(guān)于模式的學(xué)問(wèn)，等等觀點(diǎn)。這些認(rèn)識(shí)，既反映了人們對(duì)數(shù)學(xué)理解的深化，也是人們從不同側(cè)面對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行認(rèn)識(shí)的結(jié)果。正如有人所說(shuō)的，“恩格斯的關(guān)于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的提法與布爾巴基的結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)是不矛盾的，前者反映了數(shù)學(xué)的來(lái)源，后者反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的水平，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一座由一系列抽象結(jié)構(gòu)建成的大廈。”而關(guān)于數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問(wèn)的說(shuō)法，則是從數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程和抽象水平的角度對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的闡釋，另外，從思想根源上來(lái)看，人們之所以把數(shù)學(xué)看成是演繹科學(xué)、研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，是基于人類對(duì)數(shù)學(xué)推理的必然性、準(zhǔn)確性的那種與生俱來(lái)的信念，是對(duì)人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現(xiàn)，因此人們認(rèn)為，發(fā)展數(shù)學(xué)理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理，是絕對(duì)可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來(lái)的結(jié)論也一定是真的，通過(guò)應(yīng)用這些看起來(lái)清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出的結(jié)論顯然是毋庸置疑的、無(wú)可辯駁的。
事實(shí)上，上述對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)是從數(shù)學(xué)的來(lái)源、存在方式、抽象水平等方面進(jìn)行的，并且主要是從數(shù)學(xué)研究的結(jié)果來(lái)看數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征的。顯然，結(jié)果（作為一種理論的演繹體系）并不能反映數(shù)學(xué)的全貌，組成數(shù)學(xué)整體的另一個(gè)非常重要的方面是數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，而且從總體上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，是一個(gè)“思維的實(shí)驗(yàn)過(guò)程”，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過(guò)程。邏輯演繹體系則是這個(gè)過(guò)程的一種自然結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中，數(shù)學(xué)對(duì)象的豐富、生動(dòng)且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認(rèn)為，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來(lái)的數(shù)學(xué)看來(lái)象是一門的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)看來(lái)卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”弗賴登塔爾說(shuō)，“數(shù)學(xué)是一種相當(dāng)特殊的活動(dòng)，這種觀點(diǎn)“是區(qū)別于數(shù)學(xué)作為印在書上和銘，記在腦子里的東西。”他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)教科書喜歡把數(shù)學(xué)表示成“一種組織得很好的狀態(tài)，”也即“數(shù)學(xué)的形式”是數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)（活動(dòng)）內(nèi)容經(jīng)過(guò)自己的組織（活動(dòng)）而形成的；但對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，他們是把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種，他們不能沒(méi)有數(shù)學(xué)是因?yàn)樗麄冃枰獞?yīng)用數(shù)學(xué)，這就是，對(duì)于大眾來(lái)說(shuō)，是要通過(guò)數(shù)學(xué)的形式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，從而學(xué)會(huì)相應(yīng)的（應(yīng)用數(shù)學(xué)的）活動(dòng)。這大概就是弗賴登塔爾所說(shuō)的“數(shù)學(xué)是在內(nèi)容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動(dòng)”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說(shuō)，“數(shù)學(xué)家的理想是要獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹l理清楚的、具有邏輯結(jié)構(gòu)的知識(shí)實(shí)體，這一事實(shí)并不排除必須將數(shù)學(xué)看成是個(gè)創(chuàng)造性過(guò)程：數(shù)學(xué)本質(zhì)上是人類活動(dòng)，數(shù)學(xué)是由人類發(fā)明的，”數(shù)學(xué)活動(dòng)由形式的、算法的與直覺(jué)的等三個(gè)基本成分之間的相互作用構(gòu)成。庫(kù)朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說(shuō)，“數(shù)學(xué)是人類意志的表達(dá)，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺(jué)、分析與構(gòu)造、一般性與個(gè)別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，但只有這些對(duì)立勢(shì)力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構(gòu)成數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、效用與高度的價(jià)值。”
另外，對(duì)數(shù)學(xué)還有一些更加廣義的理解。如，有人認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是一種文化體系”，“數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言”，數(shù)學(xué)活動(dòng)是社會(huì)性的，它是在人類文明發(fā)展的歷史進(jìn)程中，人類認(rèn)識(shí)自然、適應(yīng)和改造自然、完善自我與社會(huì)的一種高度智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)對(duì)人類的思維方式產(chǎn)生了關(guān)鍵性的影響．也有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，“和把數(shù)學(xué)看作一門學(xué)科相比，我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家在理性世界指導(dǎo)下（雖然不是控制下）所表現(xiàn)出的經(jīng)久的創(chuàng)造性活動(dòng)，具有和藝術(shù)家的，例如畫家的活動(dòng)相似之處，這是真實(shí)的而并非臆造的。數(shù)學(xué)家的嚴(yán)格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個(gè)人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學(xué)家，這些品質(zhì)是最基本的，它與其它一些要微妙得多的品質(zhì)共同構(gòu)成一個(gè)優(yōu)秀的藝術(shù)家或優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的素質(zhì)，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力。”“數(shù)學(xué)是推理的音樂(lè)，”而“音樂(lè)是形象的數(shù)學(xué)”．這是從數(shù)學(xué)研究的過(guò)程和數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的品質(zhì)來(lái)論述數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還有人把數(shù)學(xué)看成是一種對(duì)待事物的基本態(tài)度和方法，一種精神和觀念，即數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)觀念和態(tài)度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會(huì)中的數(shù)學(xué)》一文中認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門學(xué)科，“在認(rèn)識(shí)論的意義上它是一門科學(xué)，目標(biāo)是要建立、描述和理解某些領(lǐng)域中的對(duì)象、現(xiàn)象、關(guān)系和機(jī)制等。如果這個(gè)領(lǐng)域是由我們通常認(rèn)為的數(shù)學(xué)實(shí)體所構(gòu)成的，數(shù)學(xué)就扮演著純粹科學(xué)的角色。在這種情況下，數(shù)學(xué)以內(nèi)在的自我發(fā)展和自我理解為目標(biāo)，獨(dú)立于外部世界，另一方面，如果所考慮的領(lǐng)域存在于數(shù)學(xué)之外，數(shù)學(xué)就起著用科學(xué)的作用，數(shù)學(xué)的這兩個(gè)側(cè)面之間的差異并非數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的問(wèn)題，而是人們所關(guān)注的焦點(diǎn)不同。無(wú)論是純粹的還是應(yīng)用的，作為科學(xué)的數(shù)學(xué)有助于產(chǎn)生知識(shí)和洞察力。數(shù)學(xué)也是一個(gè)、產(chǎn)品以及過(guò)程構(gòu)成的，它有助于我們作出與掌握數(shù)學(xué)以外的實(shí)踐領(lǐng)域有關(guān)的決定和行動(dòng)，數(shù)學(xué)是美學(xué)的一個(gè)領(lǐng)域，能為許多醉心其中的人們提供對(duì)美感、愉悅和激動(dòng)的體驗(yàn)，作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)的傳播和發(fā)展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不會(huì)同時(shí)而自動(dòng)地進(jìn)行，需要靠人來(lái)傳授，所以，數(shù)學(xué)也是我們社會(huì)的教育體系中的一個(gè)教學(xué)科目．”
從上所述可以看出，人們是從數(shù)學(xué)內(nèi)部（又從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式及研究過(guò)程等幾個(gè)角度）。數(shù)學(xué)與社會(huì)的關(guān)系、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展的關(guān)系等幾個(gè)方面來(lái)討論數(shù)學(xué)的性質(zhì)的。它們都從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，為我們?nèi)嬲J(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的性質(zhì)提供了一個(gè)視角。
基于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的上述認(rèn)識(shí)，人們也從不同側(cè)面討論了數(shù)學(xué)的具體特點(diǎn)。比較普遍的觀點(diǎn)是，數(shù)學(xué)有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)，其中最本質(zhì)的特點(diǎn)是抽象性。A。亞歷山大洛夫說(shuō)，“甚至對(duì)數(shù)學(xué)只有很膚淺的知識(shí)就能容易地覺(jué)察到數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn)：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說(shuō)是邏輯的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論的確定性，最后是它的應(yīng)用的極端廣泛性”王梓坤說(shuō)，“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的明確必”這種看法主要從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式和數(shù)學(xué)的作用等方面來(lái)理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)特點(diǎn)的一個(gè)方面。另外，從數(shù)學(xué)研究的過(guò)程方面、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的關(guān)系方面來(lái)看，數(shù)學(xué)還有形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性。“可證偽性”的特點(diǎn)。對(duì)數(shù)學(xué)特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)也是有時(shí)代特征的，例如，關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在各個(gè)數(shù)學(xué)歷史發(fā)展時(shí)期有不同的標(biāo)準(zhǔn)，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關(guān)于嚴(yán)謹(jǐn)性的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有很大差異，尤其是哥德?tīng)柼岢霾⒆C明了“不完備性定理…以后，人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)方法也是有缺陷的。因此，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中表現(xiàn)出來(lái)的，具有相對(duì)性。關(guān)于數(shù)學(xué)的似真性，波利亞在他的《數(shù)學(xué)與猜想》中指出，“數(shù)學(xué)被人看作是一門論證科學(xué)。然而這僅僅是它的一個(gè)方面，以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程是與任何其它知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣的，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得推測(cè)證明的思路，你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類比．你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個(gè)證明是通過(guò)合情推理，通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過(guò)程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩！闭菑倪@個(gè)角度，我們說(shuō)數(shù)學(xué)的確定性是相對(duì)的，有條件的，對(duì)數(shù)學(xué)的形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性。“可證偽性”特點(diǎn)的強(qiáng)調(diào)，實(shí)際上是突出了數(shù)學(xué)研究中觀察、實(shí)驗(yàn)、分析。比較、類比、歸納、聯(lián)想等思維過(guò)程的重要性。
人類從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開(kāi)始就一直和自然數(shù)打交道了，后來(lái)由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來(lái)叫做整數(shù)。
對(duì)于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無(wú)阻礙地進(jìn)行。也就是說(shuō)，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無(wú)阻礙地進(jìn)行。
人們?cè)趯?duì)整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來(lái)許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。
數(shù)學(xué)是孫悶神研究數(shù)罩物量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門科學(xué)。透過(guò)抽象化和邏則虧輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個(gè)性。
數(shù)學(xué)是對(duì)具體科學(xué)的抽象化思維，是對(duì)哲學(xué)的數(shù)字化演繹。數(shù)學(xué)代表著理賣蔽性思維，而藝術(shù)則棚世代表著感性中和州思維。任何科學(xué)都依賴于數(shù)學(xué)。
