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中線倍長數(shù)學解題，初二數(shù)學倍長中線經(jīng)典例題

數(shù)學
2023-04-23

目錄
中線倍長構(gòu)造全等的所有題型
倍長中線是什么時候?qū)W的
全等三角形之倍長中線
初二數(shù)學倍長中線經(jīng)典例題
數(shù)學中什么叫重線

中線倍長構(gòu)造全等的所有題型

1.如圖，過正方形ABCD的頂點A，任作一條直線EF，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，對角線AC，BD相交點O.

（1）求證：BE+EF=EF(2)求證：△BDF為等腰三角形

2.在RT△ABC中，轎念慎∠C=90°，AC=BD，PE⊥AC，PF⊥BC，求證：DE=DF（自己作圖）

（運用到的知識：1.等腰直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半

2.全等3.矩形的對邊相等4.直角等腰三角形的性質(zhì)5.輔助線的做法等）

3.在閉敬△ABC中，O為△ABC的重心。（自己作圖）（運用到的知識：1.中點，中位線的性質(zhì)2.全等3.三角形的面積4.三等分點5.重心的性質(zhì)）

（1）求證：OD=1／2AO

(2)如果S△高型BOD=3,求S△ABC

倍長中線是什么時候?qū)W的

延長邊上=的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要旁激連接相應(yīng)的頂點，運明襪則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。

“倍長中線”是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。

相關(guān)信息：

幾何沒有唯一的解法，也不像代數(shù)按照一個方法，一個套路去完成所有的題。但是，所有的已知條件都是在通關(guān)打怪獸的道路上的秘密鑰匙，唯有對上密碼的人可以打開相應(yīng)的鑰匙，而老師要傳授的就是這些鑰匙可能用上的秘訣，唯有不斷修槐神煉，才能快速通關(guān)。

全等三角形之倍長中線

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初二數(shù)學倍長中線經(jīng)典例題

你的QQ是什么？截長補短法截長補短法是幾何證明題中十分重要的方法。通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系。截長補短法有多種方法。截長法：（1）過某一點作長邊的垂線（2）在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。……補短法（1）延長短邊。旁鉛寬（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。……例：在正方形ABCD中，DE=DF，DG CE，交CA于G，GH AF，交AD于P，交CE延長線于H，請問三條粗線DG，GH，CH的數(shù)量關(guān)系方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）例題不詳解。（第2頁題目答案見第3、4頁）（1）正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上， EAF=45 。求證：EF=DE+BF（1）變形a正方形ABCD中，點E在CD延長線上，點F在BC延長線上， EAF=45 。請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形b正方形ABCD中，點E在DC延長線上，點F在CB延長線上， EAF=45 。請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形c正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上 EDF=45 。DB=DC， BDC=120 。請問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形d正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上， EAD=15 ， FAB=30 。AD= 求 AEF的面積（1）解：（簡單思路）延長CD到點G，使得DG=BF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=90 AD=AB又DG=BF所以激頃 ADG ABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90 = DAF+ FAB= DAF+ GAD= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AFAE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE變形a解：（簡單思路）EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADE= ABG=90 AD=AB又DE=BG所以 ADE ABG（SAS）EAD= GABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB=90 = DAG+ GAB= DAG+ EAD= GAE所以 GAF= GAE- EAF=90 -45 =45 GAF= EAF=45 又AG=AEAF=AF所以 EAF GAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE變形b解：（簡單思路）EF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=90 AD=AB又DG=BF所以 ADG ABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形運亮得DAB=90 = DAG+ GAB= BAF+ GAB= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AFAE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF變形c解：（簡單思路）EF=BE+FC延長AC到點G，使得CG=BE，連接DG。由 ABC是正三角形得ABC= ACB=60 又DB=DC， BDC=120 所以 DBC= DCB=30 DBE= ABC+ DBC=60 +30 =90 ACD= ACB+ DCB=60 +30 =90 所以 GCD=180 - ACD=90 DBE= DCG=90 又DB=DC，BE=CG所以 DBE DCG（SAS）EDB= GDCDE=DG又 DBC=120 = EDB+ EDC= GDC+ EDC= EDG所以 GDF= EDG- EDF=120 -60 =60 GDF= EDF=60 又DG=DEDF=DF所以 GDF EDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC變形d解：（簡單思路）延長CD到點G，使得DG=BF，連接AG。過E作EH AG.前面如（1）所證，ADG ABF， EAG EAFGAD= FAB=30 ，S EAG=S EAF在Rt ADG中， GAD=30 ，AD= AGD=60 ，AG=2設(shè)EH=x在Rt EGH中和Rt EHA中AGD=60 ， HAE=45 HG= x，AH=xAG=2=HG+AH= x+x,EH=x=3- S EAF=S EAG=EH AG 2=3- .（第5頁題目答案見第6頁）（2）正方形ABCD中，對角線AC與BD交于O，點E在BD上，AE平分 DAC。求證：AC/2=AD-EO（2）加強版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長線上，CM=AN，點E在BD上，NE平分 DNM。請問MN、AD、EF有什么數(shù)量關(guān)系？（2）解：（簡單思路）過E作EG AD于G因為四邊形ABCD是正方形ADC=90 ，BD平分 ADC，AC BD所以 ADB= ADC/2=45 因為AE平分 DAC，EO AC，EG AD所以 EAO= EAG，DGE= AOE= AGE=90 又AE=AE，所以 AEO AEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又 ADB=45 ， DGE=90 所以 DGE為等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2 （2）加強版解：（簡單思路）MN/2=AD-EF過E作EG AD于G，作EQ AB于Q，過B做BP MN于P按照（2）的解法，可求證，GNE FNE（AAS）DGE為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因為四邊形ABCD為正方形，ABC= GAQ= BCM=90 BD平分 ABC，BC=BAABD= ABC/2=45 ，又 EQB=90 EQB為等腰Rt三角形， BEQ=45 因為 GAQ= EGA= EQA=90 所以四邊形AGEQ為矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ//AGQEN= ENG又 ENG= ENF，所以 QEN= ENF由BC=BA， BCM= BAN=90 ，CM=AN，所以 BCM BAN（SAS）BM=BN， CBM= ABNABC=90 = ABM+ CBM= ABM+ ABN= MBN，又BM=BN所以 MBN為等腰Rt三角形，又BP 斜邊MN于P，所以 NPB為等腰Rt三角形。BP=MN/2， PNB=45 。BNE= ENF+ PNBBEN= QEN+ QEB又 QEN= ENF， PNB= QEB=45 所以 BNE= BENBN=BE，又 PNB= QEB=45 = NBP= EBQ所以 BEQ BNP（SAS）EQ=BP因為EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。