目錄魔鬼數學適合什么人看 清華最難奧數題 《圓周率之歌》 魔鬼數學全文 魔鬼數學免費
一、彩票是否值得買
亞當.斯密是反對者之一，因為人們過高估計了中獎的概率。
假設彩票兌獎10000次，棚搏尺但是組織機構為了賺錢，可能獲獎的名額只有1個，獎金肯定小于10000，比如就是6000元，所以你買一注，中將概率為1/10000，如果你買2注，概率會稍微高一點點，但是還是很低。如果你買6000注，有60%中獎概率，40%不中獎，雖然中獎概率變大，但最好的結果也就就是不虧不贏。如果你買10000注，那么你肯定會中獎，但是你會虧4000元。（彩票案例）
亞當.斯密的推斷中缺失了“期望值”，什么是期望值？對于每一種可能的結果，將出現該結果的概率與該結果所對于的彩票銀歲價值相乘。假設1注彩票兌獎10000次，其中有9999次是無效的，有一次是6000元，那么：出現虧的概率為9999/10000,即沒有中獎，得到0元。出現獲利的概率為1/10000，得到6000元。故該彩票價值的期望值為（9999/10000）*0+（1/10000）*6000=0.6元
二、期望值并不是我們所期望的價值
雖然算出來“期望值”為0.6，但是我們期望的彩票價值是6000元，數學中的“期望值”概念并不是我們所期望的價值。
三、如何為終身年金保險定價
年金多少要考慮年齡，如老奶奶預期存活的時間短，因此購買終身年金保險時需要支付的錢應該小于比她年紀小的人所支付的金額。
向年輕人多收錢不是顯而易見的事情嗎？但事實并不是那么顯而易見。
四、別玩強力球
1.別玩強力球，因為強力球彩票期望值小于花費金額，不值得購買。
2.如果一定要買強力球，等到累計獎金非常高的時候再買。
3.盡可能降低與其他人分享大家的概率。
強力球只是彩票的一種形式，所有彩票都有一個共同特點：勝算不大。
五、麻省理工學院學生買彩票的故事
但是，也有例外，比如“cash winfall”彩票，該彩票獎金規則：如果一周之內沒有人領走累積獎金，獎金就會向下分配，增加容易贏取鏈高的獎項的金額，累積獎金將會被重置，在下一次開獎時降到50萬美元的最低額度。
獎金向下分配時，回報率會大大增加，每張彩票的期望值就增加，這時候麻省理工的大學生一次性買1000張彩票，這就是期望值的相加性。
六、布封的硬幣、縫衣針和面條問題
硬幣問題：把硬幣扔到一個方形地磚上，硬幣是完全落在一塊磚上還是騎在磚縫上。
數學是我們從小學到高中甚至作為理科生畢生都要學習的知識。但是我們除了在生活中運用基本的加減乘除法之外，似乎也想不到數學能給我們的生活帶來哪些改變。曾經我也是這么認為，不過看完《魔鬼數學》這本書之后，我對數學有了很大的改觀。這本書讓我知道數學對于我們來說并不遙遠，也不像我們想象的那么深奧，很多的數學知識都來自生活之中。
很多的時候我們在無意識中已經在應用數學知識，但是正因為對數學知識的不理解才讓我們在不知不覺中走向了事與愿違的境地。比如，我們有時候會認為某樣東西有價值，因此理所當然的認為多多益善。這便是一種線性推理。而很多時候，線性思維往往是一種片面的思考方法。比如政府稅收，很多人認答攜為政府的稅收和稅率成正比（即線性），因此認為提高稅率就會增加政府的稅收。其實不然，過高的稅率會降低人們勞動的積極性，使總價值變小，那么稅收也會變少。因此稅率和稅收之間的關系是非線性的。
非線性思維表明，正確的前進方向取決于你當前所在的位置。如上圖所示，如果目前的稅率處在最高稅收的左側，那么可以提高稅率。如果目前的稅率處在最高稅收的右側，則降低稅率才是一個好選擇。
對于線性思維和非線性思維，我們在沒有了解這些數學知識之前，并不會太在意它們之間的區別。但是就像下面的這個例子，我們將會知道數學給人帶來清數伏多么大的震驚。
一位股票經紀人主動給你發來 一份行業資訊，透露了某只股票將要大漲的消息。一周之后你發現這只股票果然漲了。第二周，這位經紀人預言某只股票會跌，結果出乎預料的又應驗了。一連10周，這位經紀人對不同股票漲跌的預言全部應驗。那么請問，你會相信這位經紀人，并花重金請他來管理你的資金嗎？
我想很多人會迫不及待的把自己財產交給這位經紀人吧。但是，如果從這位經紀人的視角來講這個故事，情況就大不一樣了。第一周，經紀人一共發出了10240份行業資訊，其中一半預測股票會漲，一半預測股票會跌。如此，第二周，收到預測錯誤資訊的5120人被忽略，包括你在內的收到預測正確資訊的5120人將會繼續被分為兩組，一組收到預測股票會漲的資訊，另一組剛好相反。如此反復。到第10周，會有10名幸運兒會連續10次收到這位經紀人的正確預測。無論股市是什么情況，這個結果都不會改變。
即便這個股票經紀人是個什么都不懂的外行，最終都會有10個人在收到10期正確預測的股票資訊之后，認為此經紀人是個天才，從而騙到大把的資金。這個之所以能夠奏效，是因為它告訴你的不是虛假信息，而是巧妙的利用數學原理讓你形成錯誤的結論。連續10次都猜對的情況雖然屬于小概率事件，但是在樣本足夠大的情況下，的確可能發生。
小概率事件并不少見。遭遇雷擊或是彩票中獎的可能性就非常小，但是這樣的事情卻不斷發生。這是因為世界畢敗上人口眾多，有很多人買彩票，如果視野放得足夠寬，大多數巧合事件就不足為奇了。
正是因為很多人不明白概率這個數學知識，才相信買彩票可預測，才在一個又一個中不知所措。由此可見，數學知識在生活中的確應該有舉足輕重的位置。本書給了我很多的啟發，讓我重新認識了數學，也讓我對數學產生了濃厚的興趣。
我們為什么學數學？學數學到底有什么用？數學到底難不難？
對于大多數人而言，數學伴隨著我們教育的整個歷程。我們時常沉浸于那一堆堆的數字和公式，仿佛身處汪洋之中。
數學對于我們的生活，最有用的不外乎加減乘除。難道我們如此多年的數學教育只是為了簡單的計算？
喬丹艾倫伯格是數學界的超級明星，他在大學數學系任教，同時致力于零基礎受眾的數學科普。《魔鬼數學》一書當中沒有過多的復雜公式，它的意義在于喚醒人的數學思維，并將其應用于生活當中。
數學知識可以分為四個象限。
第一個象限，簡單而淺顯的數學知識。比如簡單的加減乘除、三角函數。
第二個象限，復雜但是淺顯的數學知識。比如多位數的計算。
第三個象限，復雜且深奧的數學知識。比如黎曼假設、費馬定理。這個象限幾乎為數學家的專屬，普通人難以窺其萬一。
第四個象限，簡單而深奧的數學知識。比如隨機性、因果關系。這個象限的知識我們平時學不到但十分重要。這本書便是專門介紹這一象限。
書中列舉的一個故事十分的經典，這個故事是“失蹤的彈孔”。
第二次世界大戰期間，美國軍方秘密建立了一個統計研究小組，目的是為戰爭中的美軍服務。有一次，軍方為了不讓自己的飛機被擊落，想在飛機上增加裝甲。但裝甲太多會影響飛機飛行，于是增加多少裝甲便是想讓數學家解決的問題。
軍方提供了大量數據，美軍飛機在和敵方交火并返回后，會留下很多彈孔。軍方發現，在返回的飛機上，機身上的彈孔會比引擎上的彈孔更多。于是他們判斷機身是更應該保護的部分，而在機身上增加多少裝甲正是他們想要知道的東西。
故事說到這里，軍方的觀點似乎沒喊中穗問題。機身上的彈孔比引擎上的多，機身中彈的概率更大，那么機身更需要保護。
但數學家瓦爾德給出了不一樣的看法。裝甲最應該裝配的地方并不是彈孔多的機身，而是彈孔少的引擎。
這是為什么？讀到這里，大腦一堆的問號。
原來，子彈不會長眼睛，機身和引擎上的彈孔數量應該差不多。為什么引擎上的更少？因為被統計數據的飛機都是幸存下來，機身中彈更多的一部分。而引擎中彈更多的那部分去哪里了呢？它們被擊落了，無法被用于數據統計。這說明軍方用來統計彈孔的飛機并不具有代表性。在中彈概率相同的條件下，擊中引擎更容易導致飛機墜落。
因此引擎更應該被保護。
看到這里才恍然大悟。軍官的空戰知識遠超瓦爾德，但也會犯這種先入為主的錯誤。瓦爾德能看到軍官看不到的東西，這便是數學思維的應用。
數學家把軍官的這種失誤稱為“幸存者偏差”，也就是說，你只看到了幸存下來的，卻沒有看到那些已經失敗和消亡的。
再比如，隨著經濟和醫療條件的發展，人的壽命逐漸提高，但患癌癥的人逐年增加。難道是生活條件改善促使人患癌鄭卜癥的概率增加？真實情況之一是，癌癥屬于老年病，以前生活條件艱難時，壽命較短，很多老人還沒有來得及患病就去世了。
我們每個人都有數學基因，只不過不熟悉數學的表達方式。
我們在大腦中從事數學運算的功能區，實際上也是我們使用語言的功能區。
數學和語言同宗同源，都是為了探索某種模式，而且是為了說給別人聽，并理解別人是什么意思。你天生的語言能力，就是掌握數學邏輯的基礎。
中國的孩子數學更加優秀，除了教育模式之外，漢語的發音方式也有重要的作用。漢語可以讓數字的描述更加簡潔。
未來可不可以被預測？
未來很難被預測，未來在一定程度上可以被預測。預測未來最好的方法是線性外推。
線性外推的定義是什么？線性趨勢外推法是最簡單的外推法。這種方法可用來研究隨時間按恒定增長率變化的事物。在以時間為橫坐標的坐標圖中，事物的變化接近一條直線。根據這條直線，可以推斷事物未來的變化。培禪
這種方法只適用于隨著時間線性變化的事物，比如人會逐漸衰老、太陽的東升西落。
預測短期和長期的技術難度相對較小，預測中期更為復雜。
預測短期趨勢時，我們可能會高估；預測長期趨勢時，我們可能會低估。
這說明一件事情短期之內很難看到效果，持之以恒、長期發展才會有意想不到的效果。
線性外推并不是十全十美。它有時只在一定范圍之內起作用。比如小孩子身高一定會逐漸長高，但不會一直長高。成績不好的人努力學習，成績會越來越好，但不會一直好到超越所有人。
人類是容易輕信的，我們會試圖尋找世間萬物的聯系，即使找到的僅僅是錯誤的聯系。我們會在找到第一個支持證據之后就放手，不再思考這種聯系到底是不是存在的，是因果關系還是相關關系。
數學思維是一種本能。抽象是數學的箱中最有威力的。
四種抽象思維的層次。“眼見為實”、“想到為實”、“眼見為虛”、“想到為虛”。
前三種每個人都能熟練掌握，只有第四種需要我們加強鍛煉。
回歸平均。回歸平均是一種統計學的現象，一旦遇到隨機性成功后，以后必定會出現回歸平均。
比如一個棒球選手打出一場超常發揮的成功比賽之后，除非之后的每場比賽都更加超水平發揮，否則就會不如前一次而“回歸平均”。
父母都是十分聰明的人，生下的孩子是否更加聰明？更大的概率是孩子不如父母聰明。如果預測孩子的智商，可以這樣計算：父母智商的平均值和普通人的智商再取平均值。顯然，每個人的智商都趨向于大眾，智商很高和智商很低都是偶然事件。
如果將這種現象應用于財富，我們應當明白，沒有永恒的財富，只有勤勞的人。
本周繼續延續思維訓練模塊的閱讀，主題是 “數學思維” ，精讀書是美國威斯康星大學數學系教授 喬丹·艾倫伯格 寫的 《魔鬼數學》 。
提到數學，可能有不少人會眉頭一皺，仿佛回到那個掉落鉛筆的午后，撿起來就再也聽不懂數學老師的推導了，著實讓人焦慮、惆悵。在學校所學的數學知識看上去不過是一堆沉悶的規則、定律和公理，我們在中學學了三角函數，到了大學又學了微積分，但是，大部分成年人在他們的日常生活中，能有幾次用到余切函數或是不定積分的時候？那我們為什么還要學這些由前人傳下來看起來又不容置疑的數學呢？
在這本《魔鬼數學》中，作者 摒棄了復雜的專業術語，用現實世界中的逸事、基礎的方程式和簡單的圖表，來講述數學的魅力，以及如何獲得用數學原則解決生活中問題的技巧。 喬丹?艾倫伯格認為，數學是人類最重要的基礎科學之一，也是生活中最有用的思維。 數學可以幫助我們更好地了解這個世界的結構和本質，應該被放在每個有思想的人的箱里，特別是在當下的大數據時代，我們更需要借助數學思維的力量，用于更好地解決問題，規避謬誤和錯誤的方法。
書的一開始作者就提出一個觀點， 數學知識可以分為四個象限，我們只需要重點關注其中的一個象限就行。
第一個象限是 簡單而淺顯 的數學知識。這些數學知識看起來更為復雜，但從理解的難度上來講，其實也是非常簡單的。
第二個象限是 復雜但是淺顯 的數學知識。這些數學需要一些解題技巧，需要更細心，但是，這些仍然只是淺顯的數學知識。我們在學校里花費了大量的時間學習解題技巧，其實對于領會數學的美并沒有幫助，相反，可能還讓我們對數學倒了胃口。
第三個象限是 復雜而且深奧 的數學知識。這是專業從事數學研究的人感興趣的領域，要想進入這個領域，需要一定的數學天分，而且必須非常投入，付出艱辛的努力，一輩子孜孜以求。我們普通人可能只能在門口往里面瞄一眼，里面的神秘世界是什么樣子的，我們并不清楚。這個領域的知識態掘是供我們這些普通人膜拜的。
最值得學習的是第四個象限的數學知識，也就是 簡單而深奧 的數學知識。 簡單，是因為這都是入門的知識；深奧，是因為這些知識是違反我們的直覺的，或是需要我們更縝密地推理的 。比如，對隨機性的理解、對因果關系的理解、對回歸的理解，都屬于這一類。這里作者舉了一個 “消失的彈孔” 的故事 ：如果需要給戰機加裝裝甲，參考作戰后返航的戰機，應該加裝在彈孔密集的機身，還是彈孔較少的引擎部位呢？二戰期間美國軍方的統計研究小組成員亞伯拉罕·瓦爾德認為，需要加裝裝甲的地方不應該是彈孔多的機身，而應該是彈孔少的引擎。為什么會是這樣呢？先從一個理論假設來看。從理論上來高閉沖說，飛機各個部位中彈的概率應該是一樣的。那么，為什么返航的飛機機身上的彈孔比引擎上的彈孔更多呢？換言之，引擎上本來應該戚殲有的彈孔去哪里了？瓦爾德認為，這是因為引擎被擊中的飛機都墜毀了。回來的飛機，機身上盡管留下了很多彈孔，卻仍然能夠經得住打擊，所以才能安全返航。打個比方來說，如果我們到戰地醫院去統計受傷的士兵，你會發現，腿部中彈的士兵肯定比腦部中彈的士兵要多。腦部中彈的士兵很少能夠活下來，腿部中彈的士兵才有更大的概率存活。這就是所謂的 “幸存者偏差” ，也就是說， 我們只看到了幸存下來的，卻沒有看到那些已經失敗和消亡的。
所以這本書主要講的，就是介紹怎么運用了第四象限的數學方法分析和解決日常生活的問題，作者用寓教于樂的案例與方法，幫助我們重新認識了5個與數學有關的概念，分別是： 線性、推理、回歸、存在和期望值 。
要想預測未來，最好的辦法是從 確定性 開始。經濟學家經常要做預測。有一個笑話說，經濟學家最喜歡干的事情就是預測，但是最不在行的事情也是預測。如果要預測短期或者要預測長期相對容易，但最難的是預測中期。
預測短期和長期的時候會有更大的確定性，因為最簡單的辦法就是線性外推。 線性外推的方法是說今天發生了什么，明天還會發生。在現實世界中，確實有很多現象是線性變化，或者是類似線性變化的。比如人的衰老，信息的增長，中國的工業化和城市化的不可逆發展。在線性的趨勢中，我們還可以再分辨出 硬趨勢 和 軟趨勢 。 硬趨勢是你可以測量或者感知出來的趨勢；軟趨勢是你似乎可以看得到，似乎可以預測出來的推測。 比如二戰結束后大批美國軍人回國，出現嬰兒潮，所以人口數據是我們看得見、可預測的硬趨勢；而人們本來認為戰后企業訂單會暫時減少，經濟因此出現衰退，可是并沒有發生預想的經濟衰退，這就是一種更難預測的軟趨勢。
相對來說， 預測短期和預測長期技術難度相對較小，而預測中期更為復雜。 不說別的，在中期會有更多的波動，而這些波動的轉折點是很難預測的。比如，即使你知道股票存在著泡沫，但泡沫什么時候崩潰是很難預測的。即使你知道股價被低估，但被低估到什么時候會出現反彈也是很難預測的。
所以，在預測中期趨勢的時候，一定要慎之又慎。在預測中期趨勢的時候，噪音更多，規律更復雜。我們會遇到 波動 ，又會遇到 周期 。所以盡管線性趨勢是最簡單最直觀的，但是我們還要提醒自己， 不是所有的現象都是線性趨勢。盲目地應用線性趨勢，有時會得出非常荒誕的結論。
再舉一個例子。最近在討論 特朗普減稅 的時候，媒體經常會提到 拉弗曲線 。 拉弗曲線講的是，隨著稅率的提高，稅收一開始會增加，但是稅率太高，會影響到人們的勞動積極性，稅率會減少，稅收反而會減少。 拉弗曲線是對的嗎？從數學的角度來看，拉弗曲線可能是對的。拉弗曲線指出，稅率和稅收的關系并非是線性的。從常識上解釋稅率和工作意愿的關系似乎也說的通。但是為什么大部分經濟學家對拉弗曲線嗤之以鼻呢？
因為 拉弗曲線缺乏堅實的理論基礎 。首先， 稅率不一定是決定政府稅收收入的最重要因素 ，提高稅收收入更有用的辦法可能是提高征稅效率。再者， 減稅之后，人們的工作積極性也不一定就會提高 ，畢竟影響人們工作積極性的因素是很復雜的。 有兩個因素決定了我們工作的積極性，一個是基礎因素，一個是動力因素。金錢收入只是基礎因素，而動力因素則包括挑戰性，獲得認可感、責任感和個人成長等等。
大部分經濟學家并不是說拉弗曲線的形狀不對，而是說，我們在 看待稅改的時候不能簡單用事 。現在，美國高收入的稅率遠比20世紀絕大部分時間要低得多，也就是說，幾乎沒有經濟學家認為美國現在正處在拉弗曲線的下行區域。
如果 簡單地評估一下特朗普減稅的效應 的話，特朗普減稅對美國經濟的影響未必像有一些朋友想象的那么大。第一， 特朗普減稅并不是發生在美國經濟處在相對低迷的時期 。經濟學告訴我們，只有在經濟低迷的時候，減稅對經濟增長的刺激作用才更加明顯；第二， 特朗普的減稅明顯帶有“劫貧濟富”的色彩 。這會加劇美國的貧富差距，使得本來已經撕裂的美國社會更加分化；第三， 如果在減稅的同時沒有減少政府的支出，很可能會導致美國的債務壓力越來越大。
但是美國通過減稅來讓跨國公司的海外利潤回流， 資本外流的壓力、人民幣重回貶值通道、被動減稅的壓力、資產價格泡沫可能面臨的被動萎縮，留給我們中國“獨善其身”的時間還有多久呢？ 這一次先不講太多，等到后面關于“大國博弈”的讀書模塊，再來細說（容我先充充電再分享，捂臉hhh）
某一天，你突然接到一位來自巴爾的摩的股票經紀人的郵件，推薦了一只承諾一周后會漲的股票，你沒有理睬，之后的十周里，他每周都推薦一只新的股票，而你驚喜地發現他預測的股票居然全都漲了，那么第十一周，你會選擇購買他的股票嗎？這就是非常著名的 “巴爾的摩股票經紀人” 的故事。然而，你或許會覺得神奇，甚至是奇跡的事情，巴爾的摩股票經紀人連續十次猜對股票的漲跌，卻是一場背后隱藏著概率的。知道了方法，股市白癡也很容易就能實現，因為收件的對象不止一個。只需要在第一周發出10240份郵件，一半收件人的郵件預測這只股票漲，另一半做相反預測；下一周，后一種收件人就不會收到郵件了，余下的5120人分兩批繼續收到對半分的不同預測郵件，以此類推到了第十周，只剩下10個人會連續收到十周預測準確的郵件，你猜他們會怎么想呢？所以我們在做數學推理的時候要以這個故事為戒： 面對大數據的分析必須小心翼翼，二次方程的根可能不止一個，同一個觀察結果有可能產生多種理論，讓我們誤入歧途的不是事情的真偽，而是推理的時候漏掉了某種假設。
“推理”這一章還提到了 “零假設”和“顯著性檢驗” 兩個非常有意思的概念。
零假設是假設毫無效果，或假設絲毫不起作用，或是假設沒有任何相關關系。我們在做研究的時候，要從零假設開始，然后通過做實驗，或是搜集數據，看看能不能推翻零假設。 怎么推翻零假設呢？這要用到顯著性檢驗， 顯著性檢驗其實是一種模糊的歸謬法。
歸謬法 的思路是，為了證明某個命題不正確，我們先假設該命題是真的，然后，我們看看能不能推導出來什么結論，如果這個結論明顯是錯誤的，那么，該假設就是假的命題。也就是說，我們 先假定假設H為真，根據H，某個事實F不成立，但是，F是成立的，因此，H不成立。 然而在大多數研究中，我們 不可能如此斬釘截鐵地得出結論 ，所以顯著性檢驗出現了。
我們先假定假設H為真，根據H得到某個結果為O的可能性應該非常小，但是，很不幸，我們看到事件O發生了，因此，H成立的可能性非常地小。 比如，我們假定S先生是工作積極認真的，如果他工作是積極認真的，那么，在工作時間發現他打王者榮耀的概率就會很小，可是，我們卻發現，此人確實曾有過該開重要的會議了，他還在打王者榮耀，那這說明什么？說明我們原來的假設，也就是說，他工作積極認真的假設很可能是錯的。
所以顯著性檢驗可以分成 四步 ：
1、開始實驗；2、假定零假設成立；3、觀察實驗結果中出現事件O的概率，我們把這個概率稱為P值。P值反映的是零假設成立的可能性；4、如果P值很小，我們就認為實驗結果滿足零假設的可能性很小，你可以通過這種歸謬法判斷，你原來想檢驗的猜想具有統計學上的顯著性。如果P值很大，我們就得承認零假設還沒有被推翻。
當然， 顯著性檢驗也有潛在的陷阱需要注意 ：
1、P值多小才是顯著的呢？在 顯著性與非顯著性之間并沒有一條涇渭分明的界限 。
2、 我們不能假設一種因素一定會有影響力。如果我們太想得出有影響力的結論，就可能會操縱實驗。
3、 不要誤解“顯著性” 。很多科學術語都有誤導，顯著性這個詞就是典型的例子， 要分清作用“顯著”和“有效”的區別 （論文寫作要點get√）。
研究表明，身材高的父母生出身材高的孩子的概率不是百分之百。實際上，父母和孩子的身高是受到回歸效應影響的。 在時間縱軸上受影響、具有隨機性的事物，無不遵循這一規律。只要數據足夠大， 人類的身高或者智商， 都有趨于平均值的回歸性 ，這就是我們熟悉的 “大數定律” 。舉個栗子，大型醫院里每年同一性別嬰兒的出生率會比小型醫院的更接近50%，你覺得呢？
“少數服從多數” 原則簡單明了，看似公平，但也 僅在涉及兩種觀點時才能取得最佳效果 ， 只要觀點多于兩種，眾口難調，大多數人的喜好就會有自相矛盾的地方 。所以可以這樣說， 民意是根本不存在的東西 ，更準確地講， 只有在大多數人意見一致時民意才會存在。 如果按照邏輯辦事，就經常需要違背大多數人的意見，對于政治家來說，對不一致的民意進行合理運用才是職責所在，只需讓大部分人滿意就可以了。
彩票的購買價值和獲獎價值是不同的，購買價值是你購買一張彩票所用的金額，而 獲獎價值是引入概率論之后彩票的真正價值 ，我們可以用 期望值 來表達。一個彩票的期望值只有在低于購買價值的時候才是不值得購買的，如果高于購買價值，當你的購買量達到一定數量的時候，彩票是值得購買的。
數學思維其實是我們的一種本能，與語言其實是同宗同源的 。我們的祖先曾經生活在樹上，經常需要在樹枝間跳來跳去，他們需要很好的三維空間意識。當他們到了開闊的草原上，需要判斷距離的遠近，這就要求有二維空間意識。隨著他們的生存環境變得越來越復雜，我們的祖先開始具有判斷因果關系的意識。但是，為什么自然而然出現的數學思維，最終并沒有固化到我們的日常思維中呢？為什么我們大部分人還是覺得數學太難了呢？這里的關鍵是 抽象 。
抽象是數學的箱中最具有威力的。只要有機會，數學家就會嘗試抽象。到最后，他們就會徹底忘掉真實世界，專注于抽象的定義和概念。 所以作者才會說，孩子們開始放棄對數學的學習有兩個時刻，一是接觸到分數的時刻，一是學習代數的時候，是兩次階躍性的抽象過程。 抽象可以分為四個層次，“眼見為實”、“想到為實”、“眼見為虛”、“想到為虛”。 最后一種， “想到為虛”才是數學思維的層次。數學對象是全然抽象的，它們同現實世界沒有簡單或者是直接的聯系。數學，是一種在抽象之上再抽象的層次 ，比如我們最早在加減法接觸到交換律和結合律，延伸到乘法，再到幾何，再到函數、集合、矩陣，如果學的數學系，還會考慮在什么時候下，群能滿足交換律。 數學的本質是一以貫之的，它就是一種關于模式的科學，有的模式相對簡單，有的模式相對復雜，復雜的模式不過是模式的模式，甚至是模式的模式的模式 ，于是，我們就開始糊涂了。 我們可以把數學設想為一個由樂高積木搭成的雄偉建筑。盡管看起來非常復雜，但如果仔細去看，你會發現它是由一個一個簡單的模塊拼裝起來的。數學的本質思想就是簡單的東西是復雜的，而復雜的東西其實是簡單的。 這就回到這本書的主題了，我們為什么要學習簡單而深奧的數學知識。
看過 “拉弗曲線” ，就能理解稅率與政府之間的關系；知道 “線性中心主義” ，才清楚 “按比例換算” 原來那么荒謬； “大數定律” 就是那只不講情面的、無法抗拒的手； “比盤子還大的餅狀圖” 反映了“真實但是不準確”的數字錯位……這些數學常識告誡我們，必須要注意數學出現的場合，離開了附著的情境，數學就會成為有心人的，政治選票、市場數據、盈利報告，這種那種，它們往往用繁瑣的、累疊的數字來包裹，能夠破解它們的就是數學思維培養出的洞察力，這就是作者想要告訴我們的。
以上。
數學一直是我上學時代的最愛，步入社會后發現沒有好像沒有啥作用，但是讀了魔鬼數學后，改變了我的想法。全書從線性、推理、期望值、回歸和存在五個方面環環相扣，逐步深入，妙趣橫生的指引我們收服數學這頭折磨我們的“魔鬼”。
首先是克服畏難心理。這頭“魔鬼”并不會打你、咬你，要好好看清它的長相，了解它的功用，這樣一來，你便清楚只要學會它的語言，就可以命令它給你服務。雖然很多人覺得數學的符號體系和抽象性讓人難以理解，但這一堆高度抽象化的符號，與我們平時的思維并沒有什么不同。
其次就需要建立數學和現實生活經驗的聯系。要解決這個問題，就不能滿足于在課堂內的學習，還要增謹核嫌進閱讀量，了解科技的前沿發展，并積極思考，力圖用已掌握的數學知識來解釋現實中遇到的問題，假如，我們在玩押大小、贏籌碼的游戲。已經連續7次都是大局，那么第8次出現大的幾率是否會更大呢？直覺向我們傳遞的信息是，連續多次大，那么下一次出現大的幾率就高。然而數學告訴我祥手們，每次開局，出現大小的幾率都是相同的氏塌。前一句如何并不會影響后續的結局。如果不能清醒的認識隨機性原理，不信邪的賭徒，或許會因為連續的非理性決策而損失慘重。
像這種導致人們作出非理性判斷的直覺還有很多，就像很多人會覺得越有錢就會越快樂，然而，當收入超過生活成本一定程度的時候，人們所獲得的滿足感（快樂）是遞減的，在經濟學中叫邊際效用遞減，在數學領域中，最簡單的解釋為“非線性思維”。“非線性思維表明，正確的前進方向取決于你所在的位置”。相比較而言，越有錢越快樂就是典型的線性思維，即是指兩個變量之間的變化是恒定的，這絕對是種一勞永逸的懶人思維。
數學是一種人類的認知方式和，它可以讓我們更好地思考，它可以磨煉我們的直覺，讓我們的判斷更敏銳；它還可以馴服不確定性，讓我們更深入的了解世界的結構和邏輯。擁有了數學，我們就可以把那些我們想當然的事情看得更透徹，從而做出正確的決策。
