目錄垂線段最短的生活現象 高中數學最短路徑問題 八年級最短路徑問題7種類型 初二最短路徑問題專項訓練 最短路徑12種類型例題
隨著課改的深入，數學更貼近于生活，更著眼于解決生產、經營中的問題，于是就出現了為省時、省財力、省物力而希望尋求最短路徑的數學。人們在生產、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。數學中一些關于“平面內聯結兩點的線中，線段最短”“連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路線問題。初中數學中的最短路線問題在平面圖形和空間幾何中均有應用，特別是空間幾何體中的最短路線問題，通常要借助平面展開圖、勾股定理等知識點將空間問題轉化為平面問題進行求解。下面簡單談一下初中數學中遇到的最短路線問題：
一、最短路線問題常見類空廳型
1.巧用公理：兩點之間，線段最短
二、總結
數學來源于生活，又服務于生活，只有把數學知識和實際生活緊密聯系，才能發現數學的奧秘。探究最短路線問題，既充滿生活中的趣味性，又是對數學思維的挑戰。在數學教學中，滲透數學思想往往比單純教會學生解題更為重要，意義更加重大。本文中滲透了轉化、數學建模、數形結合等思想，而主導思想在于轉化，將復雜的問題轉化為我們熟悉的問題，從而求解。
綜觀例題精解，對于解決最短路線問題，我有以下幾點感悟：
1.最短路線問題的基本原理是：兩答隱點之間線段最短，要學會舉一反三，觸類旁通；
2.學會轉化的思想，“化折為直”“化曲為直”斗舉隱，將折線、曲線問題歸結為直線問題求解；
3.將立體圖形展開轉化為平面圖形，找出最短路徑，再構造直角三角形，利用勾股定理來求解；
4.正確將立體圖形展開成平面圖形，比如：圓柱、長方體、正方體側面上最短路徑問題，要注意垂直剪開，這樣展開的側面才是長方形。
一、十二個基本問題概述
問題一：在直線 l 上求一點 P，使得 PA + PB 值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：連接 AB，與直線 l 的交點即為 P 點 .
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短 . PA + PB 最小值為 AB .
問題二：（“將軍飲馬問題”）在直線 l 上求一點 P，使得 PA + PB 值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：作點 B 關于直線 l 的對稱點 B＇，連接 AB' 與 l 的交點即為點 P．
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短．PA + PB 最小值為 AB' .
問題三：在直線 l1、l2 上分別求點 M、N，使得 △PMN 的周長最小．
初中數學最短路徑問題總結
作法：分別作點 P 關于兩條直線的對稱點 P' 和 P''，連接 P'P''，與兩條直線的交點即為點 M，N．
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短．PM + MN + PN 的最小值為線段 P'P'' 的長．
問題四：在直線 l1、l2 上分別求點 M、N，使四邊形 PQMN 的周長最小．
初中數學最短路徑問題總結
作法：分別作點 Q、P 關于直線 l1、l2 的對稱點 Q' 和 P' 連接 Q'P'，與兩直線交點即為點 M，N.
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短．四邊形 PQMN 周長的最小值為線段 Q'P' + PQ 的長．
問題五：（“造橋選址問題”）直線 m∥n，在 m、n 上分別求點 M、N，使 MN⊥m，
且 AM + MN + BN 的值最小．
初中數學最短路徑問題總結
作法：將點 A 向下平移 MN 的長度單位得 A'，伏鄭敬連接 A'B，交 n 于點 N，過 N 作 NM⊥m 于 M .
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短 . AM + MN + BN 的最小值為 A'B + MN .
問題六：在直線 l 上求兩點 M , N （M 在左），使 MN = a , 并使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：將點 A 向右平移 a 個長度單位得 A'，作 A' 關于直線 l 的對稱點 A''，連接 A''B 交直線 l 于點 N，
將 N 點向左平移 a 個單位得 M .
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短 . AM + MN + NB 的最小值為 A''B + MN .
問題七：在 l1 上求點 A，在 l2 上求點 B，使 PA + AB 值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：作點 P 關于 l1 的對稱點 P'，作 P'B⊥l2 于點 B，交 l1 于點 A .
初中數學最短路徑問題總結
原理：點到直線，垂線段的距離最短 . PA + AB 的最小值為線段 P'B 的長 .
問題八：A 為 l1上一定點，B 為 l2 上一定點，在 l2 上求點 M，在 l1上求點 N，
使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：作點 A 關于 l2 的對稱點 A'叢雀 , 點 B 關于 l1 的對稱點 B'，連接 A'B' 交 l2 于點 M，交 l1 于點 N．
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短．AM + MN + NB 的最小值為線段 A'B' 的長．
問題九：在直缺慎線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最小．
初中數學最短路徑問題總結
作法：連接 AB，作 AB 的中垂線與直線 l 的交點即為 P 點．
初中數學最短路徑問題總結
原理：垂直平分上的點到線段兩端點的距離相等． | PA - PB | = 0 .
問題十：在直線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中數學最短路徑問題總結
作法：作直線 AB，與直線 l 的交點即為 P 點．
初中數學最短路徑問題總結
原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊． | PA - PB | ≤ AB ， | PA - PB | 的最大值 = AB .
問題十一：在直線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中數學最短路徑問題總結
作法：作點 B 關于直線 l 的對稱點 B' 作直線 AB'，與直線 l 的交點即為 P 點．
初中數學最短路徑問題總結
原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊． | PA - PB | ≤ AB' ， | PA - PB | 的最大值 = AB' .
問題十二：（“費馬點”）△ABC 中每一內角都小于 120°，在 △ABC 內求一點 P，
使得 PA + PB + PC 的值最小 .
初中數學最短路徑問題總結
作法：所求點為 “費馬點” ，即滿足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .
以 AB 、 AC 為邊向外作等邊 △ABD、△ACE，連接 CD、BE 相交于點 P，點 P 即為所求 .
初中數學最短路徑問題總結
原理：兩點之間線段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .
二、“費馬點” —— 到三點距離之和最小的點
費馬點的構造方法：
① 所給三點的連線構成三角形（△ABC），并且這個三角形的每個內角都小于 120°；
② 如下圖所示：A , B , C 是給定的三點，
初中數學最短路徑問題總結
以 AC 為邊向外作正三角形得到點 D , 以 BC 為邊向外作正三角形得到點 E ,
連接 BD 和 AE 交于點 O，我們斷言點 O 就是 “費馬點” .
費馬點的證明方法：
先證 △AEC ≌ △DBC .
△AEC 繞點 C 順時針旋轉 60°，可得到 △DBC，從而 △AEC ≌ △DBC .
于是 ∠OBC = ∠OEC，所以 O、B、E、C 四點共圓 .
拓展知識：四點共圓判定方法
若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那么這二點和線段二端點四點共圓 .
初中數學最短路徑問題總結
所以 ∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，
于是 ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可證 ∠AOC = ∠AOB = 120°，
所以 ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .
初中數學最短路徑問題總結
將 O 點看作是 AE 上的點，隨著 △AEC 一起繞點 C 順時針旋轉 60° 得到點 O2 ,
所以 ∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,
所以 △OCO2 是等邊三角形，于是有 OO2 = OC .
所以 BD = OA + OB + OC .
最短路徑造橋選址問題如下：
初二數學軸對稱這一章節中，課題研究中的最短路徑問題，是中考的熱門考點，在初二的考試中也是經常會出現。
最短路徑問題中，初中階段主要涉及三方面的內容，“將軍培侍飲馬”、“造橋選址”和“費馬點”，涉及到的知識點主要有“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關系”，“軸對稱”，“平移”等，需要同學們根據題目給定的條件，
做出最短路徑問題，而這類題目的解題思路就是找對稱點實現“折”轉“直信團”，這是最為關鍵的，從而找到最短路徑的點，解決出最短路徑的問題，
我們先來學習一個比較簡單的“將軍飲馬”類型，最短路徑的求解，通過四種題型，詳解解釋作圖配坦吵方法。希望同學們能夠認真總結，將這類題目掌握。
以“將軍飲馬”為原型常見的四種類型的題目分別是：
（1）、A,B兩點位于L的同側，求出直線上一點P，使得PA+PB最小；
（2）、A,B兩點位于L的兩側，求出直線上一點P，使得PA+PB最小；
（3）、在兩條相交直線L1,L2內一點P，在兩條直線上分別求出M,N,使△PMN的周長最小；
（4）、在直線L1、L2上分別求點M、N，使四邊形PQMN的周長最小。
初中數學中最短路徑問題，生動地體現了數學來源于生活，并用數學解決現實生活問題的數學應用性。
兩點在直線同側的最短路徑問題
給出一條直線，A、B兩點在直線的同側態賣，要在直線上找到一個點，使這個點到A點和到B點的距離最短。
步驟：
①找到A(或B)關于直線的對稱點P
②連接PB(PA)交直線于O，點槐閉做O就是所要找的鉛衡點
造橋選址問題
A、B在一條河的兩岸，要在河上造一座橋MN，使A到B的路徑AMNB最短。
步驟：
①作出河的寬度M′N′
②將M′N′平移，使M′向A點平移，N′向A′點平移，即AA′=M′N′
③連接A′B與河岸b交于N點
④過N點作直線a的垂線，垂足為M 。則MN就是橋的位置.
涉及到兩個動點的最短路徑問題
給出一個正方形，已知兩個定點和兩個動點，
要在直線上找到這兩個動點，使這四個點所圍的四邊形周長最小。
步驟：
①找到兩個定點關于正方形的邊的對稱點，
②連接兩個對稱點，和正方形邊的兩邊有兩個交點。
③交點就是動點的位置
例題：
(2015，廣西玉林、防城港)如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE=1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點(均不與頂點重合)，當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是 .
最短路徑問題
兩點的所有連線中，線段最短
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問題．
兩點的所有連線中，線段最短
如圖所示，在河a兩岸有A、B兩個村莊，現在要在河上修建一座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應在河上哪一點修建才能滿足要求？(畫出圖形，做出說明)
如圖所示，連接AB交直線a于點P，此時橋到這兩村莊的距離之和最短．
兩點之間線段最短
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運用軸對稱解決距離之差最大問題
如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．
如圖中彎慶所示，以直線l為對稱軸，作鬧裂點A關于直線l的對稱點A′，A′B的連線交l于點C，則點C即為所求．理由：在直線l上任找一點C′(異于點C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因為點A，A′關于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因為點C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′賣握B＜CA－CB.
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