數(shù)學(xué)自然數(shù)是什么意思？自然數(shù)是指表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，即由0開始，0，1，2，3，4，……一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體，即指非負(fù)整數(shù)。自然數(shù)的意思 自然數(shù)是指用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，那么，數(shù)學(xué)自然數(shù)是什么意思？一起來了解一下吧。
1994年11月國家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn),物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號(hào)》中,將自然數(shù)集記為
N={0,1,2,3,…}
而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集
N+(或N*)={1,2,3,…}.
自然數(shù)集擴(kuò)充后,文[1]中的自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關(guān)的理論問題隨之起變化,這給數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用產(chǎn)生一定影響.為此,我們將自然數(shù)的基數(shù)理論討論如下.
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對(duì)自然數(shù)的來源的認(rèn)識(shí)
由于自然數(shù)的概念是建立在基數(shù)理論[1]之上的,基數(shù)是由集合對(duì)等而來.最初人類對(duì)物品的計(jì)數(shù),是將物品與人的手指(腳趾)數(shù)形成映射關(guān)系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“沒有”,“沒有”即可認(rèn)為是空集,其計(jì)數(shù)應(yīng)當(dāng)是零.這就是說,零與非零自然數(shù)是人類認(rèn)識(shí)同步的客觀現(xiàn)象,而并非是6世紀(jì)才有零的概念.也許這就是將零補(bǔ)充到自然數(shù)集的緣由之一.事實(shí)上,國外許多文獻(xiàn)和專家早就主張將零作為第一個(gè)自然數(shù).
2
自然數(shù)的新概念
自然數(shù)擴(kuò)充后,包含了空集的基數(shù),要去掉原有自然數(shù)定義中“非空”的限制條件,即定義1
有限集合的基數(shù)叫做自然數(shù).根據(jù)對(duì)等的概念,可以建立N與N+的一一映射關(guān)系f:
N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}
由此可見,N與N+有相同的基數(shù),即|N|=|N+|.
3
自然數(shù)的四則運(yùn)算
自然數(shù)加法、乘法運(yùn)算義定只要去掉原有定義中的“非空”二字即可,亦即
定義2
設(shè)有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分離).若記A∪B=C,集合A,B,C的基數(shù)分別是a,b和c,那么c叫做a與b的和,記作
a+b=c.
a和b叫做加數(shù).求兩個(gè)數(shù)的和的運(yùn)算叫做加法.
定義3
設(shè)有m(m>1)個(gè)相互對(duì)等,且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它們的基數(shù)都是n.又設(shè)A=Umi=1Ai,A的基數(shù)記作
a,即有a=n+n+…+nm個(gè),這個(gè)a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數(shù),m稱為乘數(shù).求兩個(gè)數(shù)積的運(yùn)算叫做乘法.
對(duì)于數(shù)0,1,補(bǔ)充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.
在上述定義里,加法、乘法的交換律、結(jié)合律,乘法對(duì)于加法的分配律仍然成立.
關(guān)于減法運(yùn)算的定義,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即
定義4
設(shè)有有限集合A和B,B
A,若記A-B=C,且A,B,C的基數(shù)分別記作a,b,c,那么c叫做a,b的差,記作
a-b=c.
a叫做被減數(shù),b叫做減數(shù).求兩個(gè)數(shù)差的運(yùn)算叫做減法.
除法是乘法的逆運(yùn)算,在原定義中要限定“除數(shù)非零”即可.
定義5
設(shè)a,b(b≠0)是兩個(gè)自然數(shù),如果存在一個(gè)自然數(shù)c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,記作
ab=c,或a÷b=c.
a稱為被除數(shù),b稱為除數(shù).求兩個(gè)數(shù)商的運(yùn)算叫做除法.
4
自然數(shù)的有關(guān)性質(zhì)
(1)自然數(shù)的有序性決定了自然數(shù)可以比較大小,即
定義6
如果兩個(gè)有限集合A,B的基數(shù)分別為a,b,那么
1°
當(dāng)A
A′,A′～B時(shí),a>b;
2°
當(dāng)B′
B,A～B′時(shí),a 3° 當(dāng)A～B時(shí),a=b. 自然數(shù)有反身律:a=a;對(duì)稱律:若a=b,則b=a;傳遞律:若a≥b,b≥c,則a≥c. 自然數(shù)從小到大的排序?yàn)?/p> 0,1,2,3,…. (2)自然數(shù)的單調(diào)性反映了不等量關(guān)系中的運(yùn)算性質(zhì),擴(kuò)充后的自然數(shù)其單調(diào)性有了局部性改變,即 若a≥b,則 1° a+c≥b+c; 2° 當(dāng)c>0時(shí),ac≥bc, 當(dāng)c=0時(shí),ac=bc. 對(duì)于與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)論證與原理,應(yīng)隨自然數(shù)擴(kuò)充后作相應(yīng)調(diào)整.如數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟應(yīng)是 1° 驗(yàn)證n=0時(shí),命題成立; 2° 假設(shè)n=k-1時(shí)成立,則n=k時(shí)命題成立. 自然數(shù)是指表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，即由0開始，0，1，2，3，4，……一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體，即指非負(fù)整數(shù)。 自然數(shù)由0開始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體。自然數(shù)有有序性，無限性。分為偶數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。 自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合： ①N中有一個(gè)元素，記作1。 ②N中每一個(gè)元素都能在 N 中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。 ③1是0的后繼者。④0不是任何元素的后繼者。 ⑤不同元素有不同的后繼者。 ⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。 擴(kuò)展資料： 自然數(shù)性質(zhì) 1、對(duì)自然數(shù)可以定義加法和乘法。其中，加法運(yùn)算“+”定義為：a + 0 = a； a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的后繼者。 如果我們將S（0）定義為符號(hào)“1”，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”運(yùn)算可求得任意自然數(shù)的后繼者。 同理，乘法運(yùn)算“×”定義為：a × 0 = 0; a × S（b） = a × b + a 自然數(shù)的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。 【拼音】：zì rán shù 【英譯】：natural number 【概念】：用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù) 。 即用數(shù)碼0，1，2，3，4，……所表示的數(shù) 。表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)由0開始(包括0)， 一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮集體。自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算，兩個(gè)自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)，也可以作減法或除法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。自然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論棗自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。 【定義】：（序數(shù)理論是意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾提出來的。他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì)，用公理法給出自然數(shù)的如下定義） 自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個(gè)元素，記作1。②N中每一個(gè)元素都能在 N 中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。③ 1是0的后繼者。④0不是任何元素的后繼者。 ⑤不同元素有不同的后繼者。⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M＝N。 基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。 自然數(shù)是指表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，即由0開始，0，1，2，3，4，……一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體，即指非負(fù)整數(shù)。 自然數(shù)的意思 自然數(shù)是指用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4……所表示的數(shù)。自然數(shù)由0開始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體。自然數(shù)有有序性，無限性。分為偶數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。 自然數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn) 1、有序性。自然數(shù)的有序性是指，自然數(shù)可以從0開始，不重復(fù)也不遺漏地排成一個(gè)數(shù)列：0，1，2，3，…這個(gè)數(shù)列叫自然數(shù)列。 2、無限性。自然數(shù)集是一個(gè)無窮集合，自然數(shù)列可以無止境地寫下去。 3、傳遞性：設(shè) n1，n2，n3 都是自然數(shù)，若 n1>n2，n2>n3，那么 n1>n3。 4、三岐性：對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)n1，n2，有且只有下列三種關(guān)系之一：n1>n2，n1=n2或n1 5、最小數(shù)原理：自然數(shù)集合的任一非空子集中必有最小的數(shù)。 自然數(shù)是指用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4……所表示的數(shù)。自然數(shù)由0開始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體。自然數(shù)有有序性，無限性。分為偶數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。 自然數(shù)在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數(shù)。自然數(shù)是人類歷史上最早出現(xiàn)的數(shù)，自然數(shù)在計(jì)數(shù)和測(cè)量中有著廣泛的應(yīng)用。人們還常常用自然數(shù)來給事物標(biāo)號(hào)或排序，如城市的公共汽車路線，門牌號(hào)碼，郵政編碼等。 自然數(shù)是整數(shù)（自然數(shù)包括正整數(shù)和零），但整數(shù)不全是自然數(shù)，例如：-1 -2 -3......是整數(shù) 而不是自然數(shù)。自然數(shù)是無限的。 擴(kuò)展資料： 自然數(shù)概念： 基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。 這樣 ，所有單元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基數(shù) ， 記作1 。類似，凡能與兩個(gè)手指頭建立一一對(duì)應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等 。自然數(shù)的加法 、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。 參考資料來源：百度百科-自然數(shù)概念 參考資料來源：百度百科-自然數(shù) 以上就是數(shù)學(xué)自然數(shù)是什么意思的全部內(nèi)容，自然數(shù)是指表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，即由0開始，0，1，2，3，4，……一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體，即指非負(fù)整數(shù)。自然數(shù)由0開始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體。自然數(shù)有有序性，無限性。分為偶數(shù)和奇數(shù)。
自然數(shù)的基本概念是什么
所有自然數(shù)的和
0屬于自然數(shù)嗎
自然數(shù)的數(shù)學(xué)定義
