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高數下極限

高等數學求極限的方法總結

高等數學極限100例題及答案

大一高數求極限的方法

高等數學求定義域

高數下極限

極限是微積分中的一條主線，是學好微積分的重要前提條件。而此問題一般來說比較困難，要根據具體情況進行具體分析和處理，方法很多比較凌亂。以下是我搜索整理的高等數學中幾種求極限的方法，供參考借鑒！

一、由定義求極限

極限的本質――既是無限的過程，又有確定的結果。一方面可從函數的變化過程的趨勢抽象得出結論，另一方面又可從數學本身的邏輯體系下驗證其結果。

然而并不是每一道求極限的題我們都能通過直觀觀察總結出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復雜的題。

二、利用函數的連續性求極限

此方法簡單易行但不適合于f(x)在其定義區間內是不連續的函數，及f(x)在x0處無定義的情況。

三、利用極限的四則運算法則和簡單技巧求極限

極限四則運算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運算法則求函數極限時，必須對所給的函數逐一進行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件。滿足條件者，方能利用極限四則運算法則進行求之，不滿足條件者，不能直接利用極限四則運算法則求之。但是，并非不滿足極限四則運算法則條件的函數就沒有極限，而是需將函數進行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運算法則求之。而對函數進行恒等變形時，通常運用一些簡單技巧如拆項，分子分母同乘某一因子，變量替換，分子分母有理化等等。

四、利用兩邊夾定理求極限

定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A

兩邊夾定理應用的關鍵：適當選取兩邊的函數(或數列)，并且使其極限為同一值。

注意：在運用兩邊夾定理求極限時要保證所求函數(或數列)通過放縮后所得的.兩邊的函數(或數列)的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。

五、利用單調有界原理求極限

單調有界準則即單調有界數列必定存在極限。使用單調有界準則時需證明兩個問題：一是數列的單調性，二是數列的有界性;求極限時，在等式的兩邊同時取極限，通過解方程求出合理的極限值。

利用單調有界原理求極限有兩個難點：一是證明數列的單調性，二是證明數列的有界性，在證明數列的單調性和數列的有界性時，我們通常都采用數學歸納法。

六、利用等價無窮小代換求極限

在實際計算過程中利用等價無窮小代換法或與其它方法相結合，不失為一種行之有效的方法，但并非計算過程中所有的無窮小量都能用其等價的無窮小量來進行計算。用等價無窮小代換時，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。于是用等價無窮小代換的問題便集中到對瞎芹緩于分子、分母中的加減法因子如何進行x的等價無窮小代換這一點上，在利用等價無窮小代換的方法求極限時必須把分子(或分母)看作一個整體，用整個分子(或分母)的等價無窮小去代換。

七、利用泰勒展式求極限

運用等價無窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計算量，使問題得以簡化。但一般說來，這種方法僅限于求兩個無窮小量是乘或除的極限，而對兩個無窮小量非乘或非除的極限，對于一些未能確定函數極限形態的關系式，不能用洛必達法則及等價無窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。

八、利用級數收斂的必要條件求極限

求極限的方法有很多種，在解題時，這些方法并不是孤立的，常常一個問題需要用到幾種方法。根據題目給出的條件，選擇適當的方法結合使用，能使運算更簡捷，起到事半功倍的效果。首物同時又能加強對微積分知識整體上的深層次認識，對學好微積分是大有裨益的。

分數求極限的方法

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然后運用(1)中的方法；

3、運用兩個特別極限；

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。

5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開，而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

6、等階無窮小代換，這種方法在國內甚囂塵上，國外比較冷靜。因為一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經常會出錯，要特別小心。

7、夾擠法。這不是普遍方法，因為不可能放磨模大、縮小后的結果都一樣。

8、特殊情況下，化為積分計算。

9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。

高等數學求極限的方法總結

第一個極限式子，直接將x=0代入就可以了，求得極限為2；

第二個極限式子，需要對m、n進行討論，

若m>n，則分子的冪數高于分母，極限為∞；若m

以上，請采納。

高等數學極限100例題及答案

一、利用極限四則運算法則求極限

函數極限的四則運算法則：設有函數，若在自變量f（x），g（x）的同一變化過程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，則

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）?g（x）］=limf（x）?limg（x）=A?B

lim==（B≠0）

（類似的有數列極限四則運算法則）現以討論函數為例。

對于和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運散搏算法則，但使用這些法則，往往要根據具體的函數特點，先對函數做某些恒等變形或化簡，再使用極限的四則運算法則。方法有：

1.直接代入法

對于初等函數f（x）的極限f（x），襲掘散若f（x）在x點處的函數值f（x）存在，則f（x）=f（x）。

直接代入法的本質就是只要將x=x代入函數表達式，若有意義，其極限就是該函數值。

2.無窮大與無窮小的轉換法

在相同的變化過程中，若變量不取零值，則變量為無窮大量?圳它的倒數為無窮小量。對于某些特殊極限可運用無窮大與無窮小的互為倒數關系解決。

（1）當分母的極限是“0”，而分子的極限不是“0”時，不能直接用極限的商的運算法則，而應利用無窮大與無窮小的互為倒數的關系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。

（2）當分母的極限為∞，分子是常量時，則f（x）極限為0。

3.除以適當無窮大法

對于極限是“”型，不能直接用極限的商的運算法則，必須先將分母和分子同時除以一個適當的無窮大量x。

4.有理化法

適用于帶根式的極限。

二、利用夾逼準則求極限

函數極限的夾逼定理：設函數f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類似的可以得數列極限的夾逼定理）

利用夾逼準則關鍵在于選用合適的不等式。

三、利用單調有界準則求極限

單調有界準則：單調有界數列必有極限。首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程，可求出極限。

四、利用等價無窮小代換求極限

常見等價無窮小量的例子有：當x→0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等價無窮小的代換定理：設α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變量x在同一變化過程中的無窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。

五、利用無窮小量拍氏性質求極限

在無窮小量性質中，特別是利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量的性質求極限。

六、利用兩個重要極限求極限

使用兩個重要極限=1和（1+)=e求極限時，關鍵在于對所給的函數或數列作適當的變形，使之具有相應的形式，有時也可通過變量替換使問題簡化。

七、利用洛必達法則求極限

如果當x→a（或x→∞）時，兩個函數f（x）與g（x）都趨于零或趨于無窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類極限分別稱為“”型或“”型未定式，對于該類極限一般不能運用極限運算法則，但可以利用洛必達法則求極限。

大一高數求極限的方法

主要是在分段處考察，內容：

1、在分段處是否有定義，定義是否連續，如果連續左右極限必然相等。

2、如果沒有定義，考察函數的左右極限是否相等，如果相等，為可去間斷點，否則，為不可去間斷點。

例如間斷點為x=a，左極限為lim(△x→0) [f(a-0+△x)-f(a-0)]/△x，用左端的函數計算。

右極限為lim(△x→0) [f(a+0+△x)-f(a+0)]/△x 用a點右邊的函數計算耐兆。

求極限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入。

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化。

3、運用洛握局必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是昌皮租連續可導函數。

高等數學求定義域

高數沒有八個重要極限公式，只有兩個。

1、第一個重要極限的公式：

lim sinx / x = 1 (x->0)當x→0時，sin / x的極限等于1。

特別注意的是x→∞時，1 / x是仔滑無窮小，無窮小的性質得到的極限是0。

2、第二個重要極限的公式：

lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）當x→∞時，（1+1/x）＾x的極限等于e；或當x→0時，（1+x）＾（1/x）的極限等于e。

擴展資料：

“極限”是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠不能到達念者臘”的意思。

數學中的“極限”指：某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”的過程中，此變量的變化，被人為規定為“永遠靠近而不停止”嫌塌、其有一個“不斷地極為靠近A點的趨勢”。

極限是一種“變化狀態”的描述。此變量永遠趨近的值A叫做“極限值”（當然也可以用其他符號表示）。

極限的求法：

1、連續初等函數，在定義域范圍內求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續函數的極限值就等于在該點的函數值。

2、利用恒等變形消去零因子。

3、利用無窮大與無窮小的關系求極限。

4、利用無窮小的性質求極限。

5、利用等價無窮小替換求極限，可以將原式化簡計算。

6、利用兩個極限存在準則，求極限，有的題目也可以考慮用放大縮小，再用夾逼定理的方法求極限。

參考資料來源：-極限 （微積分概念）