目錄第二數(shù)學(xué)歸納法舉例 數(shù)學(xué)歸納法的證明過程 第一歸納法和第二歸納法 什么叫做數(shù)學(xué)歸納法 第一歸納法和第二歸納法區(qū)別
使用數(shù)學(xué)歷畢歸納法一般是解笑啟決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。我可以舉幾個(gè)例子：
證明數(shù)列的遞推式；
證明數(shù)列求和式；
證明某些數(shù)列不等式。此外，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了一種遞歸性，于是可以推廣歸納原理，得到第二數(shù)學(xué)碰爛如歸納法、反向數(shù)學(xué)歸納法、二重?cái)?shù)學(xué)歸納法、螺旋數(shù)學(xué)歸納法。這些歸納法將能擴(kuò)大歸納原理的使用空間。比如證明算術(shù)-幾何平均值不等式就可以用反向數(shù)學(xué)歸納法
一般擾游只是用于遞推磨備公式。你可以通過觀察知道它的通項(xiàng)公式，但是你又無法證明，此時(shí)就要用到數(shù)學(xué)歸納法了。寫出通項(xiàng)公式。然后再根據(jù)其他的條件證明緩游銷你這個(gè)是正確的。完畢。給個(gè)例子。我可以更好的講解。
一、相同點(diǎn)：第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的。
二、不同點(diǎn)
1、形式上的區(qū)別
第一數(shù)學(xué)歸納法：初始驗(yàn)證只要驗(yàn)證n=1（或n=0)時(shí)結(jié)論成立；通式假定只要假定n=k時(shí)結(jié)論也成立；漸進(jìn)遞推在前兩條基礎(chǔ)上，推導(dǎo)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。
第二數(shù)學(xué)歸納法：初始驗(yàn)證要驗(yàn)證n=1,2,3,……,m時(shí)，結(jié)論成立；通咐慶式假定要假定n=k+1,k+2,k+3,……,k+m時(shí)，結(jié)論也成立；漸進(jìn)遞推在前兩條基礎(chǔ)上，推導(dǎo)n=k+m+1時(shí)，結(jié)論也成立。
2、使用方法不同
第一數(shù)學(xué)歸納法：第一歸納法是第二歸納法的特殊形式。凡是能用第一歸納法的，都可以使用第二歸納法。
第二數(shù)學(xué)歸納法：第二歸納法可以證明的，第一歸顫彎納法并不一定能證明。
3、證明過程不同
如果采用第二數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)n<=k成立，茄簡悶證n=k+1成立，可以利用n=1,2,......,k；如果只假設(shè)n=k，那就只能利用n=k。
參考資料來源：--第一數(shù)學(xué)歸納法
參考資料來源：--第二數(shù)學(xué)歸納法
（一）第一數(shù)學(xué)歸納法：
一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：
（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n）都成立。
（二）第二數(shù)學(xué)歸納法：
對于某個(gè)漏歷山與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），
（1）驗(yàn)證n=n0時(shí)P(n）成立；
（2）假設(shè)n0≤n<=k時(shí)P(n）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k+1）成立。
綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n）都成立。
（三）倒推歸納法（反向歸納法）：
（1）驗(yàn)證對于無窮多個(gè)自然數(shù)n命題P(n）成立（無窮多個(gè)自然數(shù)可以是一個(gè)無窮數(shù)列中的數(shù)，如對于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假設(shè)P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k）成立，
綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n）都成立；
（四）螺旋式歸納法
對兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），Q(n），
（1）驗(yàn)證n=n0時(shí)P(n）成立；
（2）假設(shè)P(k）（k>爛笑n0）成立，能推出Q(k）成立，假設(shè) Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；
綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。
向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)
解題要點(diǎn)
數(shù)學(xué)歸納法對解題的形式要求嚴(yán)格，數(shù)學(xué)歸納法解題過程中，
第一步：驗(yàn)證n取第一個(gè)自然數(shù)時(shí)成立
第二步：假設(shè)n=k時(shí)成立，然后以驗(yàn)證的返中條件和假設(shè)的條件作為論證的依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo)，在接下來的推導(dǎo)過程中不能直接將n=k+1代入假設(shè)的原式中去。
最后一步總結(jié)表述。
需要強(qiáng)調(diào)是數(shù)學(xué)歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：
應(yīng)用
（1）確定一個(gè)表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無窮序列是成立的。（2）數(shù)理邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)廣義的形式的觀點(diǎn)指出能被求出值的表達(dá)式是等價(jià)表達(dá)式。（3）證明數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的成立。（4）證明和自然數(shù)有關(guān)的不等式。
數(shù)歸納種重要論證本文數(shù)原理發(fā)第二種形式即第二數(shù)歸納進(jìn)行粗略探討數(shù)歸納種重要論證通所說數(shù)歸納指第種形式言本文想數(shù)原理發(fā)第二種形式即第二數(shù)歸納進(jìn)行粗略探討旨加深數(shù)歸納認(rèn)識(shí)】
第二數(shù)歸納原理設(shè)與整數(shù)n關(guān)命題：
（1）n=1命題立；
（2）假設(shè)n≤k（k∈N）命題立由推n=k+1命題立
根據(jù)①②命題于切整數(shù)n說都立
用反證證明
假設(shè)命題切自數(shù)都立命N表示使命題立自數(shù)所集合顯N非空于由數(shù)原理N必?cái)?shù)mm≠1否則與（1）矛盾所m－1自數(shù)mN數(shù)所m－1能使命題立說命題于切≤m－1自數(shù)都立根據(jù)（2）知m能使命題立與m使命題立自數(shù)集N數(shù)矛盾定理獲證
定理2（1）換n等于某整滑行數(shù)k
于證明程第步驟即n=1（或某整數(shù)a）情形需說需要用n=1（或某整數(shù)a）直接驗(yàn)證即斷定欲證命題真?zhèn)嗡P(guān)鍵于第二步驟即由n≤kn=k+1驗(yàn)證程事實(shí)我難例1第二步驟論證程發(fā)現(xiàn)證明等式n=k+1立利用假設(shè)條件；等式n=k及n=k－1均需立同例2例外形式n=k及n=k－1別代換n=k－1n=k－2例3同第二步驟論證程論證命題n=k+1立問題轉(zhuǎn)化驗(yàn)證命題n=k－2+1立問題換言使命題n=k+1立必要條件命題n=k－2+1立根據(jù)1取值范圍命題n=k－k+1互立實(shí)質(zhì)命題切≤k自數(shù)n說都立條件別第二步驟歸納假設(shè)析表明假論證命n=k+1真?zhèn)伪仨歯取于k兩或兩乃至全部自數(shù)命題真?zhèn)纹湔撟C依據(jù)則般選用第二數(shù)歸納進(jìn)行論證所其根本原則于第二數(shù)歸納歸納假設(shè)要求較第數(shù)歸納更強(qiáng)僅要求戚稿命題n=k立且要求命題于切于k自數(shù)說都立反能用第數(shù)歸納論證數(shù)命題定能用第二數(shù)歸納進(jìn)行證明點(diǎn)難理解般說沒任何必要做
第二數(shù)歸納第數(shù)歸納數(shù)歸納種表達(dá)形式且證明第二數(shù)歸納第數(shù)歸納等價(jià)所采用同高讓孝表達(dá)形式旨更便于我應(yīng)用
